O șmecherie cu litera dublă la teorema catetei și teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic ABC în care am dus înălțimea principală (înălțimea dusă din vârful unghiului drept) AD sunt valabile o mulțime de proprietăți interesante.

Două dintre ele se numesc „Teorema catetei” și, respectiv, „Teorema înălțimii”. Ele rezultă din observația că toate triunghiurile dreptunghice pe care le vedeți în figură sunt triunghiuri asemenea, deoarece fiecare dintre aceste triunghiuri dreptunghice are câte un unghi comun, deci se aplică tocmai cazul de asemănare UU.

Asemănarea DBA cu ABC

Triunghiul mic DBA este asemenea cu triunghiul mare ABC. Observați că ordinea în care am ales literele nu este întâmplătoare, ci este dată de egalitatea dintre măsurile unghiurilor corespunzătoare. 


Mai exact, unghiul D din triunghiul DBA are 90 de grade, deci are tot atâtea grade ca și unghiul A din triunghiul mare. Apoi, unghiul B din triunghiul mic este tot atâta ca și unghiul B din triunghiul mare. Și cum toate cele trei unghiuri ale unui triunghi adunate formează 180 de grade, este evident că și al treilea unghi din triunghiul mic va fi egal cu al treilea unghi din triunghiul mare.

Așadar, din cazul UUU, avem că $\Delta \color{blue}{DBA}\sim\Delta ABC$. Această scriere (în care ordinea literelor nu este întâmplătoare, după cum ați văzut), ne permite să scriem următoarele proporții:
$$\frac{\color{blue}{DB}}{AB}=\frac{\color{blue}{DA}}{AC}=\frac{\color{blue}{BA}}{BC}.$$
În aceste proporții, la numărător avem laturi din triunghiul mic, iar la numitor avem laturile corespunzătoare din triunghiul mare.

Ținem minte aceste relații minunate și mergem mai departe. Deocamdată nu mai zicem nimic de ele, căci vrem să mai strângem date și să ne jucăm la urmă cu ele. Vrem să vedem ce relații mai rezultă din celelalte asemănări, că mai sunt două.

Asemănarea DAC cu ABC

Din considerente similare cu cele de la asemănarea precedentă, triunghiul DAC este asemenea cu triunghiul mare și putem scrie atunci 
$$\frac{\color{lightgreen}{DA}}{AB}=\frac{\color{lightgreen}{DC}}{AC}=\frac{\color{lightgreen}{AC}}{BC}.$$

Asemănarea DBA cu DAC

În fine, dacă DBA a fost asemenea cu ABC și DAC a fost și el asemenea cu ABC, atunci este imposibil ca DBA să nu fie asemenea cu DAC. Mai exact, avem și proporțiile 
$$\frac{\color{blue}{DB}}{\color{lightgreen}{DA}}=\frac{\color{blue}{DA}}{\color{lightgreen}{DC}}=\frac{\color{blue}{BA}}{\color{lightgreen}{AC}}.$$



Ok. Acum, am vrea să vedem toate cele trei seturi de proporții cât mai aproape una de alta căci, poate cine știe, mai observăm ceva interesant. Dar n-o să rescriem proporțiile exact cum le-am obținut, ci vom ține seama că dacă schimbăm între ele capetele unui segment, lungimea segmentului rămâne aceeași. Așadar, de exemplu, segmentul BA este tot la fel de lung ca și segmentul AB, deci nu are rost să avem grijă de această ordine.

Prin urmare, să revedem toate cele trei seturi de proporții pe care le-am obținut mai sus, dar în care comutăm convenabil literele ca să ne dăm seama când este vorba despre unul și același segment. Mai exact, vom scrie literele în ordine alfabetică; vom scrie, de exemplu, AB în loc de BA și vom scrie BD în loc de DB.

Avem
$$\frac{\color{blue}{BD}}{AB}=\frac{\color{blue}{AD}}{AC}=\frac{\color{blue}{AB}}{BC}.$$
$$\frac{\color{lightgreen}{AD}}{AB}=\frac{\color{lightgreen}{CD}}{AC}=\frac{\color{lightgreen}{AC}}{BC}.$$
$$\frac{\color{blue}{BD}}{\color{lightgreen}{AD}}=\frac{\color{blue}{AD}}{\color{lightgreen}{CD}}=\frac{\color{blue}{AB}}{\color{lightgreen}{AC}}.$$

Aceste relații conțin teoremele care ne trebuie nouă. Ba chiar mai mult de atât. Nouă nici nu ne trebuie toate cele trei fracții din fiecare set de proporții, ci ne trebuie doar câte două.

Mai exact, lăsăm fracția neinteresantă deoparte (cea din mijloc, cea din stânga și, respectiv, cea din dreapta) și rescriem relațiile noastre reținând doar proporțiile care ne trebuie pentru teorema catetei și cea a înălțimii.

Avem atunci
$$\frac{\color{blue}{BD}}{AB}=\frac{\color{blue}{AB}}{BC}.$$
$$\frac{\color{lightgreen}{CD}}{AC}=\frac{\color{lightgreen}{AC}}{BC}.$$

$$\frac{\color{blue}{BD}}{\color{lightgreen}{AD}}=\frac{\color{blue}{AD}}{\color{lightgreen}{CD}}.$$

Acum ne reamintim poezia conform căreia într-o proporție (adică, o egalitate de fracții) produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Adică produsele pe diagonală sunt egale. Și cum, de exemplu, $AB\cdot AB=AB^2$, obținem trei relații fără fracții, ceva mai elegante:

$$\color{red}{AB^2=BD\cdot BC},$$
$$\color{red}{AC^2=CD\cdot BC},$$

$$\color{magenta}{AD^2=BD\cdot CD}.$$

Aici avem tot ceea ce ne trebuie. Primele două relații ne șoptesc ceva despre catetele triunghiului mare, iar ultima relație ne povestește despre înălțimea principală a acestui triunghi.

Șoaptele blânde ale primelor două relații se numesc împreună „Teorema catetei”, deși sunt două catete în triunghiul mare (catetele AB și AC), iar ultima relație conține în ea „Teorema înălțimii”.




Ei bine, nu vă pot lăsa în pace încă. Ziceam în titlu ceva de „litera dublă”. Păi, se poate să nu povestim de ea? Ei, această literă dublă vă va ajuta să rețineți ușor cele două teoreme fără să mai treceți prin chinul prin care v-am trecut mai sus. Pentru aceasta, voi rescrie cele trei relații, dar voi alege o ordine a literelor care să scoată în evidență ceea ce vreau să vă spun, desigur.
$$\color{red}{AB^2=DB\cdot BC},$$
$$\color{red}{AC^2=DC\cdot CB},$$

$$\color{magenta}{AD^2=BD\cdot DC}.$$

Observați acum litera dublă? Observați că litera care în partea stângă apare la puterea a doua, apare în partea dreaptă de două ori. Și mai observați că în partea dreaptă nu apare nicăieri litera A! Aceasta-i toată esența! 

Mai exact, putem inventa acum o singură teoremă (nu știu dacă are vreun nume), în care, în locul literei X puneți voi una dintre literele B sau C sau D, iar în locul literelor Y și Z puneți literele care lipsesc:
$$\large{\boxed{AX^2=YX\cdot XZ}}.$$