Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol.
Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!
Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?
Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$
Haideți, deci, să aplicăm această formulă pentru a calcula derivata noastră. În fracția noastră noi avem la numărător funcția $f=1$, iar la numitor avem funcția $g=x$. Avem atunci că
$$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{1'\cdot x-1\cdot x'}{x^2}.$$
Și cum $1'=0$ ca și orice constantă derivată și cum $x'=1$, rezultă atunci că $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=\frac{-1}{x^2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$
Dar v-am promis două metode de calcul. Ei bine, a doua metodă este mai elegantă, căci este mai rapidă și se bazează pe o formulă mai simplă. Formula mai simplă pe care o vom folosi acum este $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}.$$ Această formulă ne-ar permite să găsim ușor derivata fracției $\frac{1}{x}$ dacă am putea să transformăm această fracție într-o putere a lui $x$.
Putem face o asemenea transformare? Putem, desigur. Pentru că știm, printre altele, din clase mai mici, că avem o proprietate importantă a puterilor și anume: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$ Și invers, desigur, adică $$\frac{1}{a^n}=a^{-n}.$$
Cu aceste formule în minte, revenim la fracția noastră și constatăm că ea poate fi scrisă ca o putere a lui $x$, așa cum ne-am dorit: $$\frac{1}{x}=\frac{1}{x^1}=x^{-1}.$$ Prin urmare, $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime.$$
Aplicăm formula $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}$$ în care $n=-1$ și obținem $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$ Adică, am obținut același rezultat ca în cazul primei metode. De-acum depinde numai de voi dacă rețineți măcar una dintre aceste metode pentru a vă reaminti această derivată ce apare des.
Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!
Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?
Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$
Haideți, deci, să aplicăm această formulă pentru a calcula derivata noastră. În fracția noastră noi avem la numărător funcția $f=1$, iar la numitor avem funcția $g=x$. Avem atunci că
$$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{1'\cdot x-1\cdot x'}{x^2}.$$
Și cum $1'=0$ ca și orice constantă derivată și cum $x'=1$, rezultă atunci că $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=\frac{-1}{x^2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$
Dar v-am promis două metode de calcul. Ei bine, a doua metodă este mai elegantă, căci este mai rapidă și se bazează pe o formulă mai simplă. Formula mai simplă pe care o vom folosi acum este $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}.$$ Această formulă ne-ar permite să găsim ușor derivata fracției $\frac{1}{x}$ dacă am putea să transformăm această fracție într-o putere a lui $x$.
Putem face o asemenea transformare? Putem, desigur. Pentru că știm, printre altele, din clase mai mici, că avem o proprietate importantă a puterilor și anume: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$ Și invers, desigur, adică $$\frac{1}{a^n}=a^{-n}.$$
Cu aceste formule în minte, revenim la fracția noastră și constatăm că ea poate fi scrisă ca o putere a lui $x$, așa cum ne-am dorit: $$\frac{1}{x}=\frac{1}{x^1}=x^{-1}.$$ Prin urmare, $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime.$$
Aplicăm formula $$\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}$$ în care $n=-1$ și obținem $$\left(\frac{1}{x}\right)^\prime=\left(x^{-1}\right)^\prime=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=\color{red}{-\frac{1}{x^2}}.$$ Adică, am obținut același rezultat ca în cazul primei metode. De-acum depinde numai de voi dacă rețineți măcar una dintre aceste metode pentru a vă reaminti această derivată ce apare des.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.