Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.
Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$
Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.
Din păcate, spre deosebire de cazul simplu al triunghiului dreptunghic, în care știam deja cât este unghiul dintre catete (90 de grade), în cazul triunghiului oarecare (cel mai urât triunghi) acest unghi poate avea oricâte grade, deci măsura lui trebuie specificată, căci nu se subînțelege.
Dar, odată ce știm și unghiul, putem găsi liniștiți și cea de-a treia latură dorită, pentru că avem o formulă puternică ce generalizează teorema lui Pitagora: $$\large{\color{red}{a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A}}.$$
Formula ne spune că dacă într-un triunghi cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele, atunci a treia latură se obține aproape la fel ca și în cazul teoremei lui Pitagora, doar că trebuie să mai scădem ceva.
Această formulă este mai generală decât teorema lui Pitagora deoarece ea ne spune cum să calculăm latura roșie chiar și atunci când unghiul A nu are neapărat 90 de grade. Desigur, dacă unghiul A are 90 de grade, atunci cosinusul său va fi zero, deci va fi zero tot ceea ce urmează după semnul minus în formula de mai sus. Adică obținem exact teorema lui Pitagora atunci când unghiul A are 90 de grade.
Și i se mai spune și „teorema cosinusurilor” deoarece din această formulă putem găsi și cosinusul unghiului A atunci când cunoaștem cele trei laturi ale triunghiului.
Observați acum că în formula $$\large{\color{red}{a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A}}$$ am început cu litera $a$ și am terminat cu litera $A$. Dar oare ce obțineam dacă începeam cu litera $b$? În acest caz, obțineam formula $$\large{\color{red}{b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B}}.$$ Câtă simetrie!
Și cum triunghiul oarecare are trei laturi la fel de îndreptățite încât să nu conteze ordinea lor, rezultă că mai există încă o formulă corespunzătoare celei de-a treia laturi, dată de $$\large{\color{red}{c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C}}.$$
Acum înțelegeți de ce apare pluralul „cosinusurilor”. Căci avem trei unghiuri în triunghi, deci avem și trei cosinusuri ce pot fi luate în considerare.
Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$
Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.
Din păcate, spre deosebire de cazul simplu al triunghiului dreptunghic, în care știam deja cât este unghiul dintre catete (90 de grade), în cazul triunghiului oarecare (cel mai urât triunghi) acest unghi poate avea oricâte grade, deci măsura lui trebuie specificată, căci nu se subînțelege.
Dar, odată ce știm și unghiul, putem găsi liniștiți și cea de-a treia latură dorită, pentru că avem o formulă puternică ce generalizează teorema lui Pitagora: $$\large{\color{red}{a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A}}.$$
Formula ne spune că dacă într-un triunghi cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele, atunci a treia latură se obține aproape la fel ca și în cazul teoremei lui Pitagora, doar că trebuie să mai scădem ceva.
Această formulă este mai generală decât teorema lui Pitagora deoarece ea ne spune cum să calculăm latura roșie chiar și atunci când unghiul A nu are neapărat 90 de grade. Desigur, dacă unghiul A are 90 de grade, atunci cosinusul său va fi zero, deci va fi zero tot ceea ce urmează după semnul minus în formula de mai sus. Adică obținem exact teorema lui Pitagora atunci când unghiul A are 90 de grade.
Și i se mai spune și „teorema cosinusurilor” deoarece din această formulă putem găsi și cosinusul unghiului A atunci când cunoaștem cele trei laturi ale triunghiului.
Observați acum că în formula $$\large{\color{red}{a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A}}$$ am început cu litera $a$ și am terminat cu litera $A$. Dar oare ce obțineam dacă începeam cu litera $b$? În acest caz, obțineam formula $$\large{\color{red}{b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B}}.$$ Câtă simetrie!
Și cum triunghiul oarecare are trei laturi la fel de îndreptățite încât să nu conteze ordinea lor, rezultă că mai există încă o formulă corespunzătoare celei de-a treia laturi, dată de $$\large{\color{red}{c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C}}.$$
Acum înțelegeți de ce apare pluralul „cosinusurilor”. Căci avem trei unghiuri în triunghi, deci avem și trei cosinusuri ce pot fi luate în considerare.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.