Radical din doi este un număr irațional

În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).



Apoi încep să învețe despre numere iraționale, adică numere obligatoriu cu virgulă, dar cu o virgulă atât de fascinantă, încât nimic, dar nimic, niciun grup de cifre nu se mai repetă mereu la fel după virgulă. Putem spune atunci că numerele raționale sunt numere cu virgulă plictisitoare, iar numerele iraționale sunt numere cu virgulă fascinantă. Exemple de numere iraționale sunt $0,101001000100001000001\dots$,    $\sqrt{3}$,    $\log_25$ ,       $\pi$,      $e$.

Numerele raționale se mai amestecă cu numerele întregi sau naturale, dar numerele iraționale sunt xenofobe și nu suportă printre ele străini. 

De asemenea, numerele iraționale se încăpățânează să fie „mai multe” decât numerele raționale (chiar dacă din fiecare există o infinitate). Mai exact, dacă numerele raționale ar fi femei, iar numerele iraționale ar fi bărbați, atunci ar exista o infinitate de bărbați rămași fără femeie. În matematică se mai spune că mulțimea numerelor raționale este „numărabilă”, pe când mulțimea numerelor iraționale este nenumărabilă.

Orice număr rațional poate fi scris sub formă de fracție cu numere întregi care să nu se mai poată simplifica, pe când numerele iraționale nu pot fi scrise astfel. Bine, putem scrie un număr irațional sub formă de fracție, de exemplu $\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$, dar asemenea fracții nu sunt fracții de numere întregi precum este fracția $\frac{4}{5}$.





Haideți să încercăm să-l scriem pe radical din doi ca o fracție de numere întregi care nu se mai simplifică. Să presupunem că am reușit acest lucru ciudat și putem scrie $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, unde $\frac{p}{q}$ este o fracție ireductibilă. Ce o fi în neregulă cu această presupunere? 

Ca să găsim neregula, vom piscăli puțin la egalitatea presupusă. Așadar, dacă ar fi adevărat că $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, atunci egalitatea asta ar rămâne adevărată și dacă am ridica-o la pătrat. Adică, ar rămâne adevărat și faptul că $\sqrt{2}^2=\frac{p^2}{q^2}$. 

Dar radicalul cu puterea se „simplifică” în acest caz și în loc de $\sqrt{2}^2$ rămâne doar $2$. Am obține, deci, că $2=\frac{p^2}{q^2}$. De aici ar rezulta atunci că $p^2=2q^2$. 

Deci, asta ar însemna că $p^2$ este număr par, din moment ce este multiplu de doi. Dar atunci înseamnă că și $p$ este număr par, căci niciun număr impar la pătrat nu ne poate da număr par. Și cum a fi număr par înseamnă a fi multiplu de doi., înseamnă că numărul $p$ poate fi scris ca doi ori ceva număr întreg, adică $p=2k$. 

Asta înseamnă atunci că $p^2$ nu este doar un simplu număr par cum am crezut mai sus, ci este chiar multiplu de patru, căci dacă ridicăm la pătrat numărul $p=2k$ obținem $p^2=\left(2k\right)^2=2^2k^2=4k^2$, deci un multiplu de patru.

Dar atunci egalitatea noastră de mai sus $p^2=2q^2$ devine acum $4k^2=2q^2$. Această ultimă egalitate o împărțim cu doi și obținem $2k^2=q^2$. Această egalitate ne spune acum că și $q^2$ este număr par! Și noi știm că niciun număr impar la pătrat nu poate fi număr par. Așadar, $q$ nu poate fi decât număr par! Aoleu! Adică cum, și $q$ este număr par, nu doar $p$? Da, așa rezultă din raționamentele de mai sus.

Prin urmare, atât $p$, cât și $q$ trebuie să fie numere pare. Dar dacă ambele sunt numere pare, înseamnă că fracția $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ s-ar fi putut simplifica de la bun început cu doi. Adică fracția nu este ireductibilă. Această concluzie contrazice presupunerea (roșie) inițială, aceea că îl putem scrie pe $\sqrt{2}$ ca pe o fracție cu numere întregi, ireductibilă. Deci, este imposibil să-l scriem pe $\sqrt{2}$ ca pe un număr rațional. Deci $\sqrt{2}$ este număr irațional.