Dacă știți una, le știți și pe celelalte

Să presupunem că ați reținut o singură formulă trigonometrică de trecere de la sumă la produs și ați vrea să le puteți deduce pe celelalte. Să presupunem, deci, că ați reținut-o pe cea mai frumoasă, adică pe următoarea:
$$\large{\color{red}{\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Ca să le puteți afla pe celelalte trebuie să vă amintiți două lucruri care sunt mult mai ușor de reținut decât toate formulele-astea urâte de trecere de la sumă la produs.

Primul lucru pe care va trebui să vi-l amintiți este paritatea funcțiilor trigonometrice, adică faptul că sinus de minus ceva este minus sinus de acel ceva, adică $\sin(-ceva)=-\sin ceva$ și că cosinus de minus ceva este ca și cosinus fără minus, adică $\cos(-x)=\cos x$ (minusul iese în față la sinus, iar la cosinus dispare). Asta înseamnă cu alte cuvinte, mai chinezești, că funcția sinus este funcție impară, iar funcția cosinus este funcție pară.


Al doilea lucru ce trebuie să vi-l amintiți este o metodă de a putea trece ușor de la sinus la cosinus sau invers. Această metodă este foarte simplă și anume: $\sin(ceva)=\cos(90^\circ-ceva)$ și $\cos(ceva)=\sin(90^\circ-ceva)$.


Haideți acum să folosim aceste două chestii faine ca să deducem celelalte urâțenii de formule de trecere de la sumă la produs. Pentru început, să presupunem că ne interesează cât ar fi $$\sin a-\sin b$$ , când noi știm doar cât este $\sin a+\sin b$, după cum am văzut mai sus. Ne folosim de paritatea funcției sinus, citită în sens invers, adică ne folosim de faptul că $-\sin x=\sin(-x)$. Așa vom putea transforma scăderea în adunare și ne vom putea folosi de formula frumoasă cu adunare.

Așadar, $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b).$$ Altfel spus, dacă vrem să obținem formula pentru scădere, este suficient ca în loc de $b$ să punem în formula pentru adunare pe $-b$. Vom obține atunci $$\sin a-\sin b=\sin a+\sin(-b)=2\sin\frac{a+(-b)}{2}\cos\frac{a-(-b)}{2},$$ adică $$\large{\color{blue}{\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}}}.$$


Acum să presupunem că ne interesează cât este $$\cos a+\cos b$$ ca și produs de funcții trigonometrice. Ne amintim cum trecem de la cosinus la sinus și avem $$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b).$$ Iată, deci, că am reușit să transformăm suma de cosinuși în suma de sinuși. Ne folosim, deci, de formula frumoasă a sumei de sinuși care ne spune, după cum ați văzut chiar la început, că $$\sin ceva+\sin altceva=2\sin\frac{ceva+altceva}{2}\cos\frac{ceva-altceva}{2}.$$

Acum, ceva-ul nostru este $90^\circ-a$, iar altceva-ul nostru este $90^\circ-b$. Atunci 

$$\cos a+\cos b=\sin(90^\circ-a)+\sin(90^\circ-b)=\\ =2\sin\frac{90^\circ-a+90^\circ-b}{2}\cos\frac{90^\circ-a-(90^\circ-b)}{2}=\\ 2\sin\frac{180^\circ-a-b}{2}\cos\frac{-a+b}{2}.$$

Aranjând convenabil prima fracție, putem să-l împărțim separat pe 180 la 2 (care va deveni 90) și obținem ceva interesant: $$\cos a+\cos b=2\sin\left(\frac{180^\circ}{2}-\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(-\frac{a-b}{2}\right),$$ adică $$\cos a+\cos b=2\sin\left(90^\circ-\frac{a+b}{2}\right)\cos\frac{a-b}{2}.$$
Observați că la cosinus am folosit deja paritatea și am scăpat de minusul din fața fracției, deci am scăpat de paranteză (nu întotdeauna ne plac parantezele).

De aici încolo mă folosesc de transformarea lui $\sin(90^\circ-ceva)$ în $\cos(ceva)$ și obțin, în sfârșit, o altă formulă faină: $$\large{\color{blue}{\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}}.$$

Iar dacă veți lupta în mod asemănător ca să găsiți o formulă pentru scăderea cosinușilor, veți obține că $$\large{\color{blue}{\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}}}.$$


Așadar, nu le tociți pe toate. Faceți legături frumoase între ele și rețineți-le pe cele care vă atrag cel mai mult. Iar la un examen aveți mari șanse să vă amintiți cum să le deduceți. Și ați văzut că nu ar trebui să vă ia prea mult timp ca să le deduceți, dacă știți de-acum metoda.