Numărul lui Euler și dobânda la o bancă ideală

Există în analiza matematică un număr ciudat și foarte important, numit „numărul lui Euler” și notat cu „e”, în onoarea marelui matematician care a descoperit o mulțime de proprietăți legate de acest număr. 

Nu Euler a descoperit numărul e, ci Jacob Bernoulli, în timp ce acesta studia probleme financiare legate de rata dobânzilor. Mai exact, Bernoulli și-a pus următoarea problemă:
-dacă aș depune un leu la o bancă ideală, corectă, care mi-ar calcula o dobândă de 100% pe an, dar nu doar o dată pe an, ci în fiecare lună, în fiecare zi, în fiecare oră, în fiecare minut, în fiecare secundă și așa mai departe, atunci cât aș primi după un an de la acea bancă ideală?

Desigur, un răspuns rapid ar fi că după un an ai primi în total doi lei de la bancă, din moment ce dobânda calculată la un leu este de 100%. Așa este, ar fi doi lei, dar asta în condițiile unei bănci care nu face efortul să-ți calculeze dobânda în fiecare moment al anului, ci doar după un an.

Dar cum ar fi dacă banca ar aplica dobânda de 100% pe an în fiecare lună sau în fiecare zi sau în fiecare oră sau în fiecare minut sau chiar în fiecare secundă? Tot doi lei aș primi de la bancă la sfârșit de an? Nici vorbă! Aș primi mai mult. Dar cât de mult aș primi de la bancă? Crește suma oricât de mult pe măsură ce micșorăm intervalul de timp pentru care calculăm dobânda? Sau există o limită superioară pe care n-o depășește niciodată, de exemplu, 3 lei?

Lunar

Păi, să vedem cum ar face calculele o asemenea bancă ideală. Pentru început, ca să capete prestigiu de corectitudine, șeful băncii și-ar putea propune să recalculeze și să aplice dobânda lunar la suma apărută. Ar însemna atunci că dobânda de 100% dintr-un an ar trebui s-o împartă la 12 și să aplice această dobândă în fiecare lună. 

Astfel, după prima lună, în cont s-ar strânge un leu, plus încă a douăsprezecea parte dintr-un leu. Adică, s-ar strânge $$l_1=1+\frac{1}{12}.$$ În a doua lună deja ar trebui aplicată dobânda la această sumă nou apărută, adică ar trebui să adunăm la această sumă a douăsprezecea parte din noua sumă. Așadar, în luna a doua am avea în cont suma de $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}.$$

Bineînțeles, în a treia lună am avea în cont suma de $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12},$$ după a șaptea lună am avea în cont suma de $$l_7=l_6+\frac{l_6}{12}$$ și așa mai departe, astfel încât în ultima lună am avea în cont suma de $$l_{12}=l_{11}+\frac{l_{11}}{12}.$$

Vrem să vedem cum arată mai exact acest rezultat. Calculăm mai amănunțit, ca să nu mai vedem rezultate intermediare precum au fost $l_7$, ci să vedem rezultatul final în funcție de leul acela depus inițial. Știind că $$l_2=l_1+\frac{l_1}{12},$$ după care dând factor comun pe $l_1$ și înlocuindu-l pe $l_1$ cu $1+\frac{1}{12}$, obținem că 
$$l_2=l_1+\frac{l_1}{12}=l_1\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2.$$

Deci, în luna a doua a apărut acea paranteză la puterea a doua. Oare cum va fi în luna a treia? În luna a treia avem $$l_3=l_2+\frac{l_2}{12}=l_2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^2\left(1+\frac{1}{12}\right)=\left(1+\frac{1}{12}\right)^3.$$

Și, bineînțeles, în ultima lună paranteza aceasta magică va apărea la puterea a douăsprezecea, adică va fi $$\color{blue}{l_{12}=\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}}.$$ O fi oare numărul acesta mai mare și mai corect decât dacă șeful băncii nu s-ar fi complicat cu împărțirea dobânzii totale la 12 luni? Bineînțeles, dacă veți face calculul cu un calculator, veți constata că $$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2,613,$$ deci mult mai mare decât acei 2 lei pe care i-am fi primit de la o bancă ursuză căreia i-ar fi fost lene să facă aceste calcule lunar.

Zilnic

Dar ce s-ar întâmpla dacă șeful băncii noastre ideale (hai să-i spunem „banca lui Bernoulli”) ar decide că poate să fie și mai corect în aplicarea dobânzii și că ar fi mai bine dacă ar reface calculele în fiecare zi, nu în fiecare lună? 

Bineînțeles, după cum deja cred că intuiți, atunci suma finală se va obține înlocuind în suma precedentă pe $12$ (care a reprezentat numărul de luni dintr-un an) cu $365$ (care reprezintă numărul de zile dintr-un an obișnuit).

Așadar, banca noastră și mai corectă ne-ar da la sfârșit de an după un leu, de fapt suma $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2,714}.$$

Pe ore

În fine, pentru că acum ați înțeles ce se întâmplă, dacă șeful băncii s-ar încăpățâna să facă pe eroul, ar recalcula dobânda în fiecare oră, iar la sfârșit de an ne-ar oferi suma de $$\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2,718}.$$ 

Mai departe, văzând că efortul de calcul devine sisific, iar contribuția suplimentară la suma finală devine insignifiantă, probabil că șeful băncii lui Bernoulli va decide că este mai rațional și mai realist să se oprească aici, căci oricum banca lui va fi câștigat deja prestigiul de bancă excelentă și foarte corectă.



Desigur, un matematician zelos va căuta totuși să vadă ce e cu numărul acesta ciudat de care se apropie suma de la sfârșit de an pe măsură ce împărțim acest an în intervale de timp egale din ce în ce mai mici. Astfel, el va scrie o expresie chinezească foarte complicată și va spune că numărul de care se apropie suma finală este $$\color{red}{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.$$ Acesta este fascinantul număr al lui Euler, care apare în matematică alături de numărul $\pi$ ca să nu ne lase să ne plictisim.