Compararea fracțiilor ordinare

Știm că o fracție ordinară este un număr de forma $\frac 2 3$ (deci, scris cu linie de fracție), spre deosebire de o fracție zecimală, care este un număr de forma $3,12$ (deci, scris cu virgulă).

Fracții cu același numitor (semnul dintre numărători)

Ei bine, putem compara ușor două fracții ordinare dacă acestea au același numitor, adică dacă numărul de jos, de sub linia de fracție este la fel. De exemplu, fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$

se pot compara foarte ușor deoarece au același numitor. Mai precis, pentru a compara două fracții care au același numitor n-avem decât să comparăm numărătorii, căci fracțiile de acest gen cu numărătorul mai mic sunt ele însele mai mici decât fracțiile cu același numitor, dar cu numărătorul mai mare. Așadar, dacă vrem să comparăm fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$,

constatăm că 2<3 și tragem concluzia simplă că acest semn „<” se poate pune și între cele două fracții. Deci, dacă avem că 2<3, atunci avem și că

 $\frac 2 5<\frac 3 5$.

De altfel, cele mai ușor de comparat fracții sunt cele care au același numitor. Ați văzut deja cât de ușor este să comparăm asemenea fracții. Dar, o mică problemă este cu fracțiile care nu au același numitor. Ce ne facem cu asemenea fracții? 

Fracții cu același numărător (semnul invers dintre numitori)

Păi, printre fracțiile care nu au același numitor, există fracții care au măcar același numărător. Haideți să vedem dacă putem compara două fracții care, chiar dacă nu au același numitor, au măcar același numărător. Să zicem că vrem să comparăm fracțiile cu același numărător

 $\frac 5 2$ și $\frac 5 3$.

Cum procedăm? Oare să fie tot așa de simplu, precum a fost la fracțiile cu același numitor? Nici vorbă! Aici lucrurile se schimbă fundamental! Mai exact, semnul acela se inversează cu totul! Deci, deși în cazul nostru avem în continuare că 2<3, totuși semnul dintre cele două fracții se va inversa, pur și simplu, și vom avea 

 $\frac 5 2>\frac 5 3$.

Deci, o mică recapitulare. Dacă două fracții au același numitor, atunci fracția cu numărătorul mai mic este ea însăși mai mică. Iar la fracțiile cu același numărător, fracția cu numitorul mai mic va fi mai mare decât fracția cu numitorul mai mare.

Ei, ce ziceți, suntem gata cu compararea fracțiilor ordinare? Știm să comparăm orice două astfel de fracții? Nicidecum! Ne-au mai rămas de comparat cele mai urâte fracții ordinare, acelea care nu au nici numitorul la fel, dar nici numărătorul la fel. Cum dumnezeu facem cu asemenea fracții? Cum le vom compara? 

Fracții urâte (semnul dintre numărători după amplificare)

Hmmmm... Păi, asemenea fracții nici nu pot fi comparate în forma lor brută. Trebuie să le modificăm cumva ca să le aducem sau la același numitor sau la același numărător. Și dacă tot facem o asemenea modificare, atunci preferăm de regulă să le aducem la același numitor, ca să nu ne încurcăm cu semnul, căci ați văzut că cea mai simplă comparație este la fracțiile cu același numitor.

Bine, bine, dar cum reușim să aducem două fracții la același numitor? Ei, asta nu e o treabă ușoară! Dar nici nu e de speriat. Putem să modificăm numitorul unei fracții fără să greșim, dacă facem ceea ce se numește „amplificarea” fracției, adică dacă înmulțim atât numărătorul fracției, cât și numitorul acestei fracții cu același număr.

De exemplu, dacă amplificăm fracția $\frac 2 3$ cu 7, obținem fracția echivalentă $\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}$. Așadar, prin amplificarea unei fracții putem să jonglăm cu numitorul ei și îl putem face să devină aproape orice număr dorim noi.

Ei bine, pentru a putea compara două fracții urâte, precum 

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$,

regula cea mai simplă este să amplificăm ambele fracții cu numitorul celeilalte și atunci vom obține alte două fracții, care sunt respectiv echivalente (egale) cu primele, dar care, din fericire, acum vor avea același numitor și vor putea fi comparate foarte ușor.

Astfel, semnul dintre fracțiile

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$

va fi același cu semnul dintre fracțiile

 $\frac{7\cdot 3}{2\cdot 3}$ și $\frac{5\cdot 2}{3\cdot 2}$,

deci, dintre fracțiile

 $\frac{21}{6}$ și $\frac{10}{6}$.

Astfel, din două fracții urâte, respectând regula amplificării, am obținut cele mai frumoase fracții, adică acelea care au același numitor. Deci, cum 21>10, obținem că 

 $\frac{21}{6}>\frac{10}{6}$,

de unde rezultă în sfârșit că și 

 $\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$.

Așadar, în rezumat, dacă doriți să comparați două fracții urâte, întâi trebuie să le faceți frumoase prin amplificare și abia apoi le veți putea compara cu adevărat.