Unghiul diedru

Dacă în clase mai mici ați învățat despre unghiul (deschiderea) dintre două (semi)drepte, ei bine, în clasa a opta învățați despre unghiul dintre două (semi)plane. 

Unghiul dintre două plane este, de exemplu, unghiul cel mai mic dintre planul ecranului unui laptop și planul tastaturii sale. Astfel, pentru a putea determina unghiul (adică, deschiderea) dintre ecran și tastatură este necesar să determinați întâi muchia comună celor două plane, după care să găsiți câte o dreaptă perpendiculară pe acea muchie, una dintre drepte aflându-se în planul ecranului, iar cealaltă dreaptă aflându-se în planul tastaturii. Dacă ați reușit să găsiți două astfel de drepte perpendiculare pe muchia comună a celor două plane, atunci unghiul dintre cele două plane este tocmai unghiul dintre cele două drepte.

Un exemplu notabil este unghiul dintre planul unei fețe (VBC) a unei piramide și planul bazei sale (ABC). Muchia comună a acestor plane este BC, iar unghiul dintre planele menționate este tocmai unghiul dintre apotema piramidei, VM și apotema bazei, OM, desenate mai jos cu albastru, respectiv, cu verde. 

Așadar, pentru a determina unghiul dintre două fețe găsim întâi muchia comună celor două fețe și apoi căutăm două perpendiculare pe acea muchie. Desigur, punctajul maxim la rezolvarea problemei se va obține doar dacă elevul va demonstra că dreptele găsite de el sunt perpendiculare pe muchia comună.

Suma lui Gauss

Cum calculați $1+2+3+\dots+17$? Desigur, nu vă apucați să adunați termen cu termen, ci vă folosiți de metoda deșteaptă descoperită de Gauss și anume de aceea în care transformați această sumă într-un produs. Mai exact, îl luați frumușel pe ultimul termen (pe 17), îl înmulțiți cu succesorul său (adică cu 18) și împărțiți rezultatul la 2. Sau puteți începe întâi cu împărțirea numărului par (dintre două numere consecutive, întotdeauna unul va fi par).

Dar cum calculați $4+7+10+\dots+121$? Aici aveți de parcurs trei pași:

Pasul 1: determinați rația R, adică diferența dintre doi termeni consecutivi, deci cu cât crește fiecare termen. În cazul nostru rația este 3.

Pasul 2: determinați câte numere aveți de adunat. Pentru aceasta folosiți formula: $$\color{blue}{N=\frac{Ultimul-Primul}{Rație}+1}.$$ În cazul nostru, $N=\frac{121-4}{3}+1=40$.

Pasul 3: determinați, în sfârșit, suma propriu-zisă cu formula $$\color{red}{S=\frac{(Ultimul+Primul)\cdot \color{blue}{N}}{2}}.$$ Adică, în cazul nostru, $S=\frac{(121+4)\cdot 40}{2}=125\cdot 20=2500$.

Vă rog să observați că în pasul al treilea se adună ultimul și primul termen, nu se scad precum se făcea în pasul al doilea.

Apropo, puteți calcula această sumă și cu ajutorul minunatului Wolframalpha, accesând acest link. 

Mult succes!

Ecuațiile simple de gradul al doilea nu se rezolvă cu $\Delta$, ci mult mai simplu

Ecuațiile de gradul al doilea sunt cele mai importante ecuații învățate la final de gimnaziu și început de liceu. Ele se numesc de gradul al doilea pentru că necunoscuta, notată de obicei cu $x$, apare la puterea a doua.

Există mai multe tipuri de ecuații de gradul al doilea, unele mai simple, altele mai complicate. Cea mai simplă arată, de exemplu, așa $x^2=4$, în timp ce una urâtă arată, de exemplu, așa $\frac{13}{9}-5x^2=2x $.

În general, ecuațiile de gradul al doilea sunt prezentate astfel:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Asemenea ecuații se rezolvă destul de greu, cu $\Delta$ și cu formula pentru $x_1$ și $x_2$.

În acest articol doresc să vă arăt cum rezolvați ecuațiile simple de gradul al doilea, ca să nu fiți nevoiți să le abordați cu metoda greoaie cu $\Delta$.

Există două tipuri de ecuații simple de gradul al doilea.

Ecuațiile simple de primul tip sunt cele care au coeficientul $b$ egal cu zero, adică ele nu îl conțin pe $x$ la puterea întâi. Iată un exemplu: $x^2-4=0$ sau alt exemplu, echivalent: $x^2=4$. Aceste ecuații sunt mai ușor de rezolvat, deoarece ultima formă ne dă deja soluțiile, adică, din $x^2=4$ obținem că $x$ poate fi $\sqrt 4$ sau $-\sqrt 4$. Atenție! Nu uitați de soluția negativă! Majoritatea elevilor uită că asemenea ecuații au două soluții, nu doar pe cea pozitivă.

Al doilea tip de ecuații simple sunt cele care au termenul liber nul. Iată un exemplu: $x^2+3x=0$. Asemenea ecuații se rezolvă dând factor comun pe $x$ și vor avea întotdeauna o soluție egală cu zero. Dându-l factor comun pe $x$, ecuația precedentă devine $x\cdot(x+3)=0$, deci a devenit un produs de doi factori. Când este nul un produs de doi factori? Desigur, atunci când unul dintre factori este nul. Cum unul dintre factori este $x$, rezultă că una dintre cele două soluții ale ecuației date va fi $x_1=0$, așa cum spuneam. Iar cealaltă soluție va fi dată de anularea parantezei, adică de $x+3=0$, ceea ce înseamnă $x_2=-3$.

Sper că vă dați seama, deci, că utilizarea metodei cu $\Delta$ pentru a rezolva asemenea ecuații de gradul al doilea simple este echivalentă cu utilizarea unei săbii pentru a tăia o pizza. Așadar, de acum înainte să știți să rezolvați ecuațiile de gradul al doilea simple cu aceste metode rapide.