Este în pregătire aplicația vreaumate

Este în pregătire o aplicație de matematică de toată frumusețea! 😁 Visez ca ea să contribuie enorm la învățarea matematicii cu ușurință și bucurie.

Despre noua structură a saitului vreaumate.online

Pentru cei care vor să înțeleagă mai bine ce facilități le oferă saitul meu, vreaumate.online, am pregătit un filmuleț de câteva minute care vorbește despre structura saitului și dă un exemplu de generare de teste.

Veți observa în filmuleț o groază de îmbunătățiri care au fost aduse saitului de către fiul meu cu ajutorul inteligenței artificiale. 

Cu această ocazie vă invit să-l contactați (în subsolul paginii găsiți detalii) dacă doriți să vă ajute cu aproape tot ceea ce poate face inteligența artificială în prezent.

Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss (video)

Am avut de mult visul de a vorbi pe înțelesul celor mici despre proprietatea interesantă a sumei cuburilor.

Distanța de la un punct la o dreaptă este unică

Subliniez în filmulețul de pe youtube că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea unui segment UNIC care unește punctul cu un punct de pe dreaptă, astfel încât distanța să fie măsurată pe CEL MAI SCURT drum de la punct la dreaptă, drum care este tocmai PERPENDICULAR pe dreaptă. Reiese astfel o legătură profundă între distanță, perpendicular și unicitate.

Puțină nostalgie

De pe vremea când eram la catedră.

Logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor

Da, da. Dacă folosim formula care ne spune că logaritmul produsului este suma logaritmilor, avem $$\log\sqrt{a\cdot b}=\log(a\cdot b)^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\log(a\cdot b)=\frac{\log a+\log b}{2}.$$ Așadar, logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor. Ce profund!

Raportul de monotonie

Există un raport prețios cu care putem afla dacă o funcție numerică este crescătoare sau este descrescătoare (bineînțeles, pe un anumit interval de numere reale). Iată acest raport: $$R=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Aici, $x$ și $y$ sunt numere distincte din domeniul de definiție al funcției.

Dacă acest raport este strict pozitiv pe un anumit interval, atunci funcția este strict crescătoare pe acel interval. Dacă raportul este negativ, funcția este descrescătoare, iar dacă raportul este nul, funcția este constantă.

De exemplu, funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dată de legea $f(x)=x^3-9$ are raportul de monotonie $$R=\frac{x^3-9-y^3+9}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}=$$

$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$ rezultat despre care se poate arăta ușor că este pozitiv pentru orice valori distincte $x$ și $y$ (discriminantul rezultatului este negativ) și este nul doar pentru ambele valori nule. Cum rezultatul este pozitiv peste tot, avem că funcția este crescătoare pe tot intervalul de definiție (sau strict crescătoare pe $\mathbb{R^*}$).

Acest raport este util elevilor din prima treaptă a liceului, urmând ca după ce vor învăța derivatele (într-a XI-a) să determine monotonia trecând la limită acest raport și transformându-l în derivată.

Media armonică este inversul mediei aritmetice a inverselor

Media armonică a două numere $a$ și $b$ este dată de relația $$m_h(a,b)=\frac{2ab}{a+b}.$$

Vom vedea că putem ajunge la această medie făcând media aritmetică a inverselor celor două numere. Astfel, media aritmetică a inverselor va fi $$m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}=\frac{\frac{a+b}{ab}}{2}=\frac{a+b}{2ab},$$ care este tocmai inversul mediei armonice a celor două numere. 

Prin urmare, avem ceea ce spune titlul: $$\frac{1}{m_h}=m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right).$$

Așa că, dacă ați crezut cumva că cele două medii nu au multe în comun, aveți ocazia să vă amintiți de această legătură frumoasă.

Am pregătit un loc unde clienții mei pot beneficia de toată munca mea

Într-un director online puteți avea acces la toată munca mea cu elevii rămasă pe fișierele pdf. Sunt convins că vor exista doritori capabili să înțeleagă explicațiile mele scrise în fișierele pdf. Mult succes!