Logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor

Da, da. Dacă folosim formula care ne spune că logaritmul produsului este suma logaritmilor, avem $$\log\sqrt{a\cdot b}=\log(a\cdot b)^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\log(a\cdot b)=\frac{\log a+\log b}{2}.$$ Așadar, logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor. Ce profund!

Raportul de monotonie

Există un raport prețios cu care putem afla dacă o funcție numerică este crescătoare sau este descrescătoare (bineînțeles, pe un anumit interval de numere reale). Iată acest raport: $$R=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Aici, $x$ și $y$ sunt numere distincte din domeniul de definiție al funcției.

Dacă acest raport este strict pozitiv pe un anumit interval, atunci funcția este strict crescătoare pe acel interval. Dacă raportul este negativ, funcția este descrescătoare, iar dacă raportul este nul, funcția este constantă.

De exemplu, funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dată de legea $f(x)=x^3-9$ are raportul de monotonie $$R=\frac{x^3-9-y^3+9}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}=$$

$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$ rezultat despre care se poate arăta ușor că este pozitiv pentru orice valori distincte $x$ și $y$ (discriminantul rezultatului este negativ) și este nul doar pentru ambele valori nule. Cum rezultatul este pozitiv peste tot, avem că funcția este crescătoare pe tot intervalul de definiție (sau strict crescătoare pe $\mathbb{R^*}$).

Acest raport este util elevilor din prima treaptă a liceului, urmând ca după ce vor învăța derivatele (într-a XI-a) să determine monotonia trecând la limită acest raport și transformându-l în derivată.

Media armonică este inversul mediei aritmetice a inverselor

Media armonică a două numere $a$ și $b$ este dată de relația $$m_h(a,b)=\frac{2ab}{a+b}.$$

Vom vedea că putem ajunge la această medie făcând media aritmetică a inverselor celor două numere. Astfel, media aritmetică a inverselor va fi $$m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}=\frac{\frac{a+b}{ab}}{2}=\frac{a+b}{2ab},$$ care este tocmai inversul mediei armonice a celor două numere. 

Prin urmare, avem ceea ce spune titlul: $$\frac{1}{m_h}=m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right).$$

Așa că, dacă ați crezut cumva că cele două medii nu au multe în comun, aveți ocazia să vă amintiți de această legătură frumoasă.

Am pregătit un loc unde clienții mei pot beneficia de toată munca mea

Într-un director online puteți avea acces la toată munca mea cu elevii rămasă pe fișierele pdf. Sunt convins că vor exista doritori capabili să înțeleagă explicațiile mele scrise în fișierele pdf. Mult succes!