Folosindu-ne de cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, despre care am discutat în articolul precedent, putem obține o nouă inegalitate importantă, valabilă pentru medii.
Mai exact, dacă pornim de la două numere reale pozitive $0\leq a\leq b$, putem calcula media lor aritmetică dată de $$M_a(a,b)=\frac{a+b}{2}$$ și media lor geometrică $$M_g=\sqrt{a\cdot b}.$$
De exemplu, dacă numerele sunt $a=4$ și $b=9$, atunci media lor aritmetică este $$M_a=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$ și $$M_g=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6.$$
Observați deja că $6,5>6$ și astfel media aritmetică a celor două numere alese este mai mare decât media lor geometrică.
Această inegalitate este una generală, în sensul că media aritmetică a două (sau mai multor) numere reale pozitive este întotdeauna mai mare sau cel puțin egală cu media lor geometrică. Deci, întotdeauna avem $$\color{red}{\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}}.$$
Căci, pornind de la cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, care ne spune că orice număr real ridicat la puterea a doua este mai mare decât zero sau cel puțin egal cu zero, rezultă că acest lucru este valabil și pentru diferența a două numere reale pozitive, oricare ar fi ele $(x-y)^2$, adică avem $$(x-y)^2\geq 0.$$
Mai departe, ridicând la puterea a doua paranteza prin înmulțirea parantezei cu ea însăși sau prin utilizarea formulei de calcul prescurtat, vom avea că $$(x-y)^2=(x-y)\cdot(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2.$$ Și cum $(x-y)^2\geq 0$, rezultă că $$x^2-2xy+y^2\geq 0,$$ ceea ce mai înseamnă și $$x^2+y^2\geq 2xy$$ (am aruncat în dreapta termenul $2xy$) și mai înseamnă și $$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy$$ (am împărțit inegalitatea precedentă cu 2).
Acum, notând $x^2=a$ și $y^2=b$, cum $a$ și $b$ sunt pozitive, va rezulta că $x=\sqrt{a}$, $y=\sqrt{b}$ și $xy=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, ceea ce ne duce direct la inegalitatea mediilor.
Și există o medie (media pătratică) care este chiar mai mare decât media aritmetică. Pentru numerele concrete alese mai sus avem $$M_p=\sqrt{\frac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{48,5}\approx 6,96.$$
Și există o medie (media armonică) care este mai mică decât media geometrică. Media armonică a lui 4 și 9 este $$M_h=\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{2}{0,25+0,(1)}\approx 5,53.$$
Astfel, putem sintetiza inegalitatea mediilor mai frumos: $$\color{red}{b\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq a}.$$
Din această inegalitate celebră mai rezultă că dacă oricare două dintre aceste medii sunt egale, va rezulta că și numerele ale căror medii se calculează sunt egale, concluzie foarte subtilă ce este valorificată în unele probleme mai dificile.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.