Faceți căutări pe acest blog

vineri, 12 decembrie 2014

Suma puterilor rădăcinilor


Dat fiind un polinom de gradul al doilea $f(X)=aX^2+bX+c$ și rădăcinile sale $x_1$ și $x_2$, am văzut că relațiile lui Viète corespunzătoare sunt
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
și
$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$

Acum, să presupunem că într-o anumită problemă vi se cere să calculați expresia
$$S=x_1^2+x_2^2.$$

Aveți două metode pentru asta. Prima metodă pornește de la expresia $(x_1+x_2)^2$. Haideți să vedem la ce mă refer. Facem următorul calcul, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2.$$
Inversăm egalitatea și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2.$$
Acum aruncăm în dreapta egalității (desigur, cu semn schimbat) termenul $2x_1x_2$ și obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Am putea să ne oprim aici, căci aceasta este formula pe care trebuie să o rețineți. Punând indicii corespunzători, această formulă ar mai putea fi scrisă
$$\large{\color{red}{S_2=S_1^2-2P}},$$
unde am pus $S_2=x_1^2+x_2^2$, $S_1=x_1+x_2$ și $P=x_1x_2$.

Acum, dacă ne trebuie și valorile concrete, ne uităm puțin mai sus la relațiile lui Viète. Folosindu-le, obținem
$$\color{red}{x_1^2+x_2^2}=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}.$$

Dar vreau acum să vă arăt o metodă mai interesantă pentru a obține această relație. Este mai interesantă pentru că este mai simplă și mai elegantă, simplitate și eleganță care vor apărea mult mai evidente în cazul polinomului de gradul trei.

Pornim de la forma generală a ecuației de gradul doi $ax^2+bx+c=0$, o împărțim cu $a$ și o scriem
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$
Acum aruncăm în dreapta toți termenii diferiți de $x^2$ și obținem
$$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}.$$
Această egalitate este valabilă pentru ambele rădăcini $x_1$ și $x_2$. Așadar, putem scrie două relații
$$x_1^2=-\frac{b}{a}x_1-\frac{c}{a}$$
$$x_2^2=-\frac{b}{a}x_2-\frac{c}{a}.$$
Acum nu ne rămâne decât să adunăm cele două egalități, termen cu termen, și vom obține
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}(x_1+x_2)-2\frac{c}{a}.$$
Cum $(x_1+x_2)=-\frac{b}{a}$, obținem
$$\color{blue}{x_1^2+x_2^2}=-\frac{b}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a},$$
rezultat echivalent, desigur, cu cel precedent. Așa-i că a doua metodă este mai simplă decât prima?





Cum, nu v-am convins încă? Hmmm... Noa, nu-i bai, atunci am să vă arăt cât de utilă e a doua metodă pentru relațiile lui Viète de ordinul trei. Doar că aici vom aborda numai această a doua metodă pentru suma $S_3=x_1^3+x_2^3+x_3^3$, căci prima e urâtă și grea.

Dar, pentru aceasta, înainte trebuie să scriem suma $S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, căci vom avea nevoie de ea. Nu mai reproducem raționamentul de mai sus pe care l-am construit pentru a calcula suma pătratelor rădăcinilor polinomului de gradul doi, care ar consta aici în ridicarea trinomului la pătrat, și vă asigur că putem scrie în mod analog
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$
Folosind relațiile lui Viète de ordinul trei, înlocuim expresiile corespunzătoare și obținem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a},$$
complet analog cazului cu polinomul de gradul doi.

Acum putem folosi metoda elegantă pentru a calcula suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$. Vă amintiți că această metodă presupune să scriem ecuația (de data aceasta, de gradul trei, nu doi) $ax^3+bx^2+cx+d=0$, s-o împărțim cu $a$ și să aruncăm în dreapta termenii diferiți de $x^3$. Așadar, avem
$$x^3=-\frac{b}{a}x^2-\frac{c}{a}x-\frac{d}{a}.$$
Acum, înlocuim $x$ cu toate cele trei rădăcini și avem trei egalități
$$x_1^3=-\frac{b}{a}x_1^2-\frac{c}{a}x_1-\frac{d}{a},$$
$$x_2^3=-\frac{b}{a}x_2^2-\frac{c}{a}x_2-\frac{d}{a}$$
și
$$x_3^3=-\frac{b}{a}x_3^2-\frac{c}{a}x_3-\frac{d}{a}.$$

Cum nouă ne trebuie suma $x_1^3+x_2^3+x_3^3$, nu trebuie decât să adunăm cele trei egalități precedente termen cu termen. Deci, adunând și dând apoi factor comun, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-\frac{c}{a}(x_1+x_2+x_3)-3\frac{d}{a}.$$

Înlocuind acum pe $(x_1^2+x_2^2+x_3^2)$ cu $\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)$ și pe $(x_1+x_2+x_3)$ cu $-\frac{b}{a}$, obținem
$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b}{a}\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\right)+\frac{c}{a}\frac{b}{a}-3\frac{d}{a}.$$

În final, desfacem parantezele și adunăm termenii asemenea. Și obținem bijuteria
$$\large{\color{limegreen}{x_1^3+x_2^3+x_3^3=-\frac{b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2}-\frac{3d}{a}}}.$$

Vă ordon să vă amintiți aceste lucruri la bac!