Dat fiind un polinom de gradul al doilea f(X)=aX2+bX+c și rădăcinile sale x1 și x2, am văzut că relațiile lui Viète corespunzătoare sunt
x1+x2=−ba
și
x1⋅x2=ca.
Acum, să presupunem că într-o anumită problemă vi se cere să calculați expresia
S=x21+x22.
Aveți două metode pentru asta. Prima metodă pornește de la expresia (x1+x2)2. Haideți să vedem la ce mă refer. Facem următorul calcul, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat (a+b)2=a2+2ab+b2:
(x1+x2)2=x21+2x1x2+x22=x21+x22+2x1x2.
Inversăm egalitatea și obținem
x21+x22+2x1x2=(x1+x2)2.
Acum aruncăm în dreapta egalității (desigur, cu semn schimbat) termenul 2x1x2 și obținem
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2.
Am putea să ne oprim aici, căci aceasta este formula pe care trebuie să o rețineți. Punând indicii corespunzători, această formulă ar mai putea fi scrisă
S2=S21−2P,
unde am pus S2=x21+x22, S1=x1+x2 și P=x1x2.
Acum, dacă ne trebuie și valorile concrete, ne uităm puțin mai sus la relațiile lui Viète. Folosindu-le, obținem
x21+x22=(−ba)2−2(ca)=b2a2−2ca.
Dar vreau acum să vă arăt o metodă mai interesantă pentru a obține această relație. Este mai interesantă pentru că este mai simplă și mai elegantă, simplitate și eleganță care vor apărea mult mai evidente în cazul polinomului de gradul trei.
Pornim de la forma generală a ecuației de gradul doi ax2+bx+c=0, o împărțim cu a și o scriem
x2+bax+ca=0.
Acum aruncăm în dreapta toți termenii diferiți de x2 și obținem
x2=−bax−ca.
Această egalitate este valabilă pentru ambele rădăcini x1 și x2. Așadar, putem scrie două relații
x21=−bax1−ca
x22=−bax2−ca.
Acum nu ne rămâne decât să adunăm cele două egalități, termen cu termen, și vom obține
x21+x22=−ba(x1+x2)−2ca.
Cum (x1+x2)=−ba, obținem
x21+x22=−ba(−ba)−2ca,
rezultat echivalent, desigur, cu cel precedent. Așa-i că a doua metodă este mai simplă decât prima?
Cum, nu v-am convins încă? Hmmm... Noa, nu-i bai, atunci am să vă arăt cât de utilă e a doua metodă pentru relațiile lui Viète de ordinul trei. Doar că aici vom aborda numai această a doua metodă pentru suma S3=x31+x32+x33, căci prima e urâtă și grea.
Dar, pentru aceasta, înainte trebuie să scriem suma S2=x21+x22+x23, căci vom avea nevoie de ea. Nu mai reproducem raționamentul de mai sus pe care l-am construit pentru a calcula suma pătratelor rădăcinilor polinomului de gradul doi, care ar consta aici în ridicarea trinomului la pătrat, și vă asigur că putem scrie în mod analog
x21+x22+x23=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3).
Folosind relațiile lui Viète de ordinul trei, înlocuim expresiile corespunzătoare și obținem
x21+x22+x23=(−ba)2−2(ca)=b2a2−2ca,
complet analog cazului cu polinomul de gradul doi.
Acum putem folosi metoda elegantă pentru a calcula suma x31+x32+x33. Vă amintiți că această metodă presupune să scriem ecuația (de data aceasta, de gradul trei, nu doi) ax3+bx2+cx+d=0, s-o împărțim cu a și să aruncăm în dreapta termenii diferiți de x3. Așadar, avem
x3=−bax2−cax−da.
Acum, înlocuim x cu toate cele trei rădăcini și avem trei egalități
x31=−bax21−cax1−da,
x32=−bax22−cax2−da
și
x33=−bax23−cax3−da.
Cum nouă ne trebuie suma x31+x32+x33, nu trebuie decât să adunăm cele trei egalități precedente termen cu termen. Deci, adunând și dând apoi factor comun, obținem
x31+x32+x33=−ba(x21+x22+x23)−ca(x1+x2+x3)−3da.
Înlocuind acum pe (x21+x22+x23) cu (b2a2−2ca) și pe (x1+x2+x3) cu −ba, obținem
x31+x32+x33=−ba(b2a2−2ca)+caba−3da.
În final, desfacem parantezele și adunăm termenii asemenea. Și obținem bijuteria
x31+x32+x33=−b3a3+3bca2−3da.
Vă ordon să vă amintiți aceste lucruri la bac!
x1+x2=−ba
și
x1⋅x2=ca.
Acum, să presupunem că într-o anumită problemă vi se cere să calculați expresia
S=x21+x22.
Aveți două metode pentru asta. Prima metodă pornește de la expresia (x1+x2)2. Haideți să vedem la ce mă refer. Facem următorul calcul, folosindu-ne de formula de calcul prescurtat (a+b)2=a2+2ab+b2:
(x1+x2)2=x21+2x1x2+x22=x21+x22+2x1x2.
Inversăm egalitatea și obținem
x21+x22+2x1x2=(x1+x2)2.
Acum aruncăm în dreapta egalității (desigur, cu semn schimbat) termenul 2x1x2 și obținem
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2.
Am putea să ne oprim aici, căci aceasta este formula pe care trebuie să o rețineți. Punând indicii corespunzători, această formulă ar mai putea fi scrisă
S2=S21−2P,
unde am pus S2=x21+x22, S1=x1+x2 și P=x1x2.
Acum, dacă ne trebuie și valorile concrete, ne uităm puțin mai sus la relațiile lui Viète. Folosindu-le, obținem
x21+x22=(−ba)2−2(ca)=b2a2−2ca.
Dar vreau acum să vă arăt o metodă mai interesantă pentru a obține această relație. Este mai interesantă pentru că este mai simplă și mai elegantă, simplitate și eleganță care vor apărea mult mai evidente în cazul polinomului de gradul trei.
Pornim de la forma generală a ecuației de gradul doi ax2+bx+c=0, o împărțim cu a și o scriem
x2+bax+ca=0.
Acum aruncăm în dreapta toți termenii diferiți de x2 și obținem
x2=−bax−ca.
Această egalitate este valabilă pentru ambele rădăcini x1 și x2. Așadar, putem scrie două relații
x21=−bax1−ca
x22=−bax2−ca.
Acum nu ne rămâne decât să adunăm cele două egalități, termen cu termen, și vom obține
x21+x22=−ba(x1+x2)−2ca.
Cum (x1+x2)=−ba, obținem
x21+x22=−ba(−ba)−2ca,
rezultat echivalent, desigur, cu cel precedent. Așa-i că a doua metodă este mai simplă decât prima?
Cum, nu v-am convins încă? Hmmm... Noa, nu-i bai, atunci am să vă arăt cât de utilă e a doua metodă pentru relațiile lui Viète de ordinul trei. Doar că aici vom aborda numai această a doua metodă pentru suma S3=x31+x32+x33, căci prima e urâtă și grea.
Dar, pentru aceasta, înainte trebuie să scriem suma S2=x21+x22+x23, căci vom avea nevoie de ea. Nu mai reproducem raționamentul de mai sus pe care l-am construit pentru a calcula suma pătratelor rădăcinilor polinomului de gradul doi, care ar consta aici în ridicarea trinomului la pătrat, și vă asigur că putem scrie în mod analog
x21+x22+x23=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3).
Folosind relațiile lui Viète de ordinul trei, înlocuim expresiile corespunzătoare și obținem
x21+x22+x23=(−ba)2−2(ca)=b2a2−2ca,
complet analog cazului cu polinomul de gradul doi.
Acum putem folosi metoda elegantă pentru a calcula suma x31+x32+x33. Vă amintiți că această metodă presupune să scriem ecuația (de data aceasta, de gradul trei, nu doi) ax3+bx2+cx+d=0, s-o împărțim cu a și să aruncăm în dreapta termenii diferiți de x3. Așadar, avem
x3=−bax2−cax−da.
Acum, înlocuim x cu toate cele trei rădăcini și avem trei egalități
x31=−bax21−cax1−da,
x32=−bax22−cax2−da
și
x33=−bax23−cax3−da.
Cum nouă ne trebuie suma x31+x32+x33, nu trebuie decât să adunăm cele trei egalități precedente termen cu termen. Deci, adunând și dând apoi factor comun, obținem
x31+x32+x33=−ba(x21+x22+x23)−ca(x1+x2+x3)−3da.
Înlocuind acum pe (x21+x22+x23) cu (b2a2−2ca) și pe (x1+x2+x3) cu −ba, obținem
x31+x32+x33=−ba(b2a2−2ca)+caba−3da.
În final, desfacem parantezele și adunăm termenii asemenea. Și obținem bijuteria
x31+x32+x33=−b3a3+3bca2−3da.
Vă ordon să vă amintiți aceste lucruri la bac!
Frumos si util prezentat.
RăspundețiȘtergereMă bucur că ai înțeles și frumosul și utilul din această prezentare!
Ștergere