Faceți căutări pe acest blog

duminică, 14 decembrie 2014

O integrală buclucașă


Calculați
x29dx.


În tabelele obișnuite cu integrale (pe care mă gândesc eu că voi v-ați apucat deja să le cam învățați pe de rost) nu veți găsi această integrală, așa că ea va trebui calculată. Apoi, după ce o calculăm, dacă vreți voi s-o introduceți într-un tabel al vostru personal, eu n-am nimic împotrivă.

Bun. Deci, ce avem de făcut pentru a calcula o integrală? Scopul este să ne apropiem cât mai mult de o integrală simplă sau de mai multe integrale simple. Integralele simple sunt cele pe care le găsim în tabelul obișnuit.

Așadar, ce integrale asemănătoare găsim în tabelul obișnuit? Bineînțeles, nu ne vom uita în tabel după integrale de altă formă decât integrala noastră, ci vom căuta integrale care să aibă ceva radical în ele. Noi n-avem treabă, de exemplu, cu exdx.

După ce ne holbăm ceva mai lung la tabel, constatăm că există o integrală ciudată care are radical în ea și care ne spune următoarele
1x29=ln|x+x29|.


Mamăăă, da' ce mai seamănă cele două integrale! Dar, ia stați! Nu cumva a greșit autorul? Nu cumva radicalul acela din tabel ar fi trebuit să nu fie la numitor? Nici vorbă! Stați liniștiți, că e bine. Radicalul din tabel e la numitor, iar radicalul din integrala noastră este, din păcate, „la numărător”, căci poate fi scris și el ca o fracție cu numitorul egal cu 1
x291.


Și atunci, dată fiind situația, ce-i de făcut? Am putea să calculăm integrala noastră cu ajutorul altei integrale ce are radicalul la numitor? Ce ziceți voi? Hmmm...

Păi, ia să vedem ce putem face. Ne trebuie puțină artă. Trebuie să facem o mică șmecherie prin care să ducem radicalul acela la numitor. Urmăriți-mă cu atenție.

Oare sunteți de acord că
a=aaa?


Păi, de ce n-ați fi de acord? Doar putem simplifica unul dintre radicalii de la numărător cu radicalul de la numitor și ne rămâne celălalt radical dintre cei doi aflați la numărător.

Bun. Acum, dacă sunteți de acord cu șmecheria noastră, mergem mai departe. Ia priviți mai bine numărătorul. Dacă avem doi radicali din același lucru, atunci radicalul dispare. Este un fel de ciocnire de radicali, ciocnire ce duce la dispariția lor. Așadar, avem
aa=a.

Prin urmare,
a=aa.

Țineți minte chestia asta! Puteți aduce radicalul la numitor atunci când aveți nevoie de asta. Este, de data aceasta, un fel de raționalizare a numărătorului.

Înseamnă că integrala noastră începe să aibă radical la numitor și ne apropiem de integrala din tabel.
x29dx=x29x29dx.

Yuppiiiii!

Hehe, ne bucurăm noi, dar ne bucurăm prea devreme, căci mai avem un drum tare lung de parcurs până la rezolvarea completă. Integrala din tabel cu radical la numitor nu are nimic la numărător. Pardon, are doar 1 la numărător, dar nicidecum x29. Așa că de-acum va trebui să vedem cum ne putem descurca cu numărătorul ca să îl vedem mai simplu.

O altă mare filozofie este să despărțim fracția în două fracții mai simple. Noi știm de la fracțiile care au același numitor că abc=acbc.
Așadar, obținem
x29dx=x29x29dx=x2x299x29dx.


Acum ne vom folosi de (f+g)=f+g, proprietate pe care o regăsiți în tabelul cu integrale. Așadar, desfacem integrala noastră complicată în două integrale mai simple. Adică
x29dx=x2x29dx9x29dx.


Super! Am reușit să desfacem o integrală urâtă în două integrale ce promit să fie mai simple. Ok. Să ne ocupăm atunci de prima integrală, cea roșie. O luăm separat și vedem ce putem face cu ea. Așadar, avem de calculat integrala
x2x29dx.

La această integrală ne enervează puțin numărătorul x2 și ca să ne calmăm puțin vom încerca să-l facem mai simplu, descompunându-l pe x2 în xx.  Atunci integrala va deveni
xxx29dx.

Și cum
abc=abc,

integrala devine
xxx29dx.


Desigur, n-am rezolvat mare lucru că am scris integrala astfel decât dacă ne gândim să o calculăm prin părți. Integrarea prin părți ne spune că dacă descoperim sub integrală un produs de două funcții, dintre care una este o derivată, atunci suntem boieri, căci avem formula
fg=fgfg.


Așadar, pentru a calcula integrala
xxx29dx,

integrală ce constă deja dintr-un produs de două funcții, x și xx29 trebuie să mai descoperim acolo o derivată.

Așadar, oare pe care dintre cele două funcții x și xx29 am putea s-o scriem ca fiind derivata altei funcții? Să scriem oare x=(x22)? Aoleu! Nici vorbă! Pentru că dacă am face prostia asta, atunci a doua integrală ar presupune să derivăm cealaltă funcție xx29 și ar ieși un talmeș-balmeș.

Așa că mai bine ne chinuim să mergem pe cealaltă pistă. Adică, să căutăm o funcție a cărei derivată să ne dea tocmai xx29. Dar oare există așa ceva? Există oare o funcție care derivată să ne dea xx29?

Din fericire, există! Derivând radicalul de la numitor, adică (x29), obținem tocmai funcția dorită, adică xx29. Cum așa? Păi n-avem decât să folosim formula
(u)=u2u.


Și la noi u=x29. Atunci u=(x29)=(x2)9=2x0=2x. Așadar,
(x29)=2x2x29=xx29.


Am obținut ceva remarcabil! Am obținut acea funcție care derivată să ne dea xx29. Acum ne putem reculege puțin, că ne-am cam împrăștiat. Ia să vedem. Avem de calculat integrala
xxx29dx.

Și am descoperit că xx29 poate fi scrisă ca (x29). Așadar, integrala devine acum
xxx29dx=x(x29)dx.

Calculând prin părți, obținem că
x(x29)dx=xx29xx29dx.

Dar x=1. Așadar, obținem ceva interesant. Am obținut că integrala roșie, de la care am pornit după desfacerea integralei inițiale, este
x2x29dx=xx29x29dx.




Acum ne întoarcem la integrala noastră inițială (cea verde) și vedem ce am obținut. Țineți minte că am avut
x29dx=x2x29dx9x29dx.

Și cum noi am calculat deja integrala roșie, putem scrie
x29dx=xx29x29dx9x29dx.


Dar, vai, integrala din mijloc este tocmai integrala verde! Adică
x29dx=xx29x29dx9x29dx.


Și atunci, ce ziceți, am putea să ducem integrala verde din dreapta în partea stângă, lângă sora ei geamănă? Absolut. Și ducând-o în stânga trebuie să îi schimbăm semnul, din minus în plus. Adică obținem
x29dx+x29dx=xx299x29dx.

Dar adunând același lucru de două ori, obținem dublul acelui lucru. Mai exact
x29dx+x29dx=2x29dx.


Așadar, din toată nebunia asta obținem
2x29dx=xx299x29dx.


Off! Haideți să scăpăm odată și de integrala asta albastră care ne tot încurcă! Au! Dar integrala albastră este tocmai integrala din tabel, cea cu radicalul la numitor, doar că avem sus un 9 pe care îl putem scoate în fața integrale, 9 fiind o constantă. Așadar
9x29dx=9ln|x+x29|.

Am scăpat, deci și de integrala albastră. Adică, putem scrie
2x29dx=xx299ln|x+x29|+C.


Ce? Cum? Am terminat? Am găsit integrala verde din enunț? Aproape. Ne mai încurcă 2-ul acela din fața ei. Atunci împărțim toată egalitatea precedentă cu 2 și obținem în final
x29dx=x2x2992ln|x+x29|+C.


Mamma mia! Acuma văd cât v-am chinuit pentru această integrală! Păi, iertați-mă, dar n-am găsit o cale mai ușoară...

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare