Faceți căutări pe acest blog

duminică, 28 decembrie 2014

Numerele imaginare nu pot fi numere reale


Când m-am lovit pentru prima dată de această noțiune șocantă de „număr complex” am gândit ceva de genul: „Altă noțiune, alt număr? Oare nu putem găsi un număr real care să ne scutească de necesitatea numerelor complexe?”

Profesorul meu de matematică de la liceu, dragul domn Bohler, mi-a clarificat repede această dilemă, pe măsură ce lecția se desfășura. Acest profesor ne-a pus în față problema: „cât este radical din minus unu?” și ne-a dat o pauză de meditație pe care tot el a întrerupt-o continuând să răspândească în clasă undele sonore minunate provenite de la dragele lui corzi vocale.

Ei bine, cât credeți că este radical din minus unu?

Știți că radical din 16 este 4 sau că radical din 25 este 5 pentru că $4\cdot 4=4^2=16$ și, respectiv, $5\cdot 5=5^2=25$. Atunci cât o fi radical din minus unu? Să fie oare 1? Păi, facem proba. Dacă radical din -1 ar fi fost 1, atunci ar fi trebuit ca $1\cdot 1$ să fie -1. Dar, desigur, $1\cdot 1$ nu este -1, ci este 1.

Să fie oare atunci -1? Presupunem că da. Facem atunci iar proba. Dacă radical din -1 ar fi -1, atunci ar trebui ca $(-1)\cdot(-1)$ să ne dea $-1$. Dar, nici vorbă, $(-1)\cdot(-1)$ nu ne dă $-1$, ci ne dă $+1$, căci minus ori minus este plus.

Atunci ce ne facem? Abandonăm studiul? Abandonăm lupta? Lupta cu ce? Ce căutăm, de fapt? Căutăm să calculăm cât este $\sqrt{-1}$. Cum ar trebui să arate acest calcul? Ce rezultat am vrea să ne dea el? Un număr real? Ceva de genul lui 1, 3 sau 8,5?

Ei bine, nu. Nu vom reuși niciodată să găsim un număr real care înmulțit cu el însuși să ne dea $-1$! Pentru că pătratul oricărui număr real (chiar dacă acesta este negativ!) este un număr real pozitiv, nu unul negativ. Riguros spus, $a\cdot a=a^2\ge 0$, orice număr real ați pune în locul lui $a$.

Așadar, trebuie să căutăm altă soluție. Ar fi o pierdere de vreme să ne mai chinuim să găsim vreun număr real care ridicat la pătrat să ne dea -1. Soluția găsită s-a conturat începând cu marii matematicieni care se chinuiau să rezolve ecuațiile de grad mai mare sau egal cu 2. Astăzi s-a ajuns să considerăm că radical din minus unu este o literă, litera i, căreia să-i dăm noi semnificația lui radical din minus unu.

Așadar, riguros, avem $\sqrt{-1}=i$, ceea ce mai înseamnă că $i\cdot i=i^2=-1$.

Poate că extratereștrii folosesc alt semn pentru radical din minus unu, dar noi ne-am obișnuit să îl folosim pe acesta. Uneori mai folosim și litera j, atunci când există pericolul să confundăm litera i cu altceva. Important este să ne înțelegem toți între noi să folosim același semn pentru radical din minus unu.

Această înțelegere, această convenție, se transmite din generație în generație, de la profesor la elev și a ajuns așa până la noi.

Bun. Acum, că avem o soluție de a „calcula” cât este radical din -1, putem afla și cât este radical din -16, de exemplu. Avem așa
$$\sqrt{-16}=\sqrt{16\cdot(-1)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4\cdot i=4i.$$

Observați, deci, că dacă cunoaștem cât este radical din minus unu, putem cunoaște ușor cât este radical din orice număr negativ prin simpla alăturare a literei i la radicalul numărului pozitiv.

Numerele de forma 4i, 35i sau -20i sau $\frac{\pi}{2}i$ se numesc „numere imaginare” pentru că ele nu sunt numere reale, din moment ce au în componența lor litera i care este, prin convenție, radical din minus unu.

De la numerele imaginare până la numerele complexe nu mai e decât un pas. Mai exact, numărul complex este suma dintre un număr real și un număr imaginar. Numărul real din această sumă se numește „partea reală” a numărului complex, iar numărul imaginar din această sumă se numește „partea imaginară” a numărului complex dat.

Observați de aici că numărul complex este mai cuprinzător decât un număr real, căci orice număr real poate fi considerat un număr complex a cărui parte imaginară este nulă.


Pe mine m-a liniștit astfel profesorul Bohler. Oare voi sunteți mai liniștiți acum?