Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 13 ianuarie 2016

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?


Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul


Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.



Dacă în fața lui $x^2$ avem un număr pozitiv, atunci vârful acestei parabole este în jos, iar dacă în fața lui $x^2$ este ceva cu minus, atunci vârful parabolei va fi în sus.

Așa cum se vede și în grafic, funcția noastră (adică, valorile lui $y$, deci valorile de pe verticală) nu coboară foarte jos. Mai exact, nu coboară mai jos de vârf. În sus urcă ele până la infinit, dar în jos există o limită până la care coboară. Acea limită este tocmai valoarea minimă a funcției. Și asta ni se cere nouă. Deci, ni se cere să spunem cât de jos coboară această funcție.

Vârful este un punct. Un punct care are două coordonate, una corespunzătoare lui $x$, care ne spune unde se află vârful pe orizontală și una corespunzătoare lui $y$ care ne spune unde se află vârful pe verticală. V-am mai vorbit despre acest lucru într-un articol ce mi-este tare drag, dedicat funcției de gradul doi. Spuneam acolo că pe orizontală avem valorile lui $unde$, iar pe verticală avem valorile lui $cât$.

Nouă nu ni se cere unde este valoarea minimă, ci ni se cere cât este aceasta. Astfel, ni se cere, de fapt, coordonata $y$ a vârfului acestei parabole.

Iar elevul care știe mate, știe și care sunt coordonatele vârfului, coordonate despre care v-am vorbit în același articol. Acestea sunt $$V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right).$$ Aici apar coeficienții polinomului de gradul doi prin care este definită funcția.

În cazul nostru, $a=1$, $b=-5$, iar $c=4$. Cu aceste valori vom calcula pe $\Delta$, căci, după cum am văzut, nouă ne trebuie coordonata $y$ a vârfului, adică cea din dreapta.

Dar $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$. De asemenea, $4a=4\cdot 1=4$. Așadar, valoarea minimă a funcției va fi raportul $$y_{min}=-\frac{\Delta}{4a}=\large{\color{red}{-\frac{9}{4}}}.$$