Problema V1SIP1: Să se rezolve în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-9$.

Încep aici cu această primă problemă dintr-o variantă de bacalaureat pe care v-o propun în viitor. V1 înseamnă varianta 1, SI înseamnă subiectul I, iar P1 înseamnă problema 1.

Pentru a rezolva o ecuație trebuie să găsim toate numerele posibile care, puse în locul necunoscutei ce apare în ecuație, duc spre un adevăr.

Ecuația noastră este o ecuație de gradul doi. Ecuațiile de gradul doi sunt tare drăguțe, căci ele au musai două soluții și musai de același fel (aceeași natură); adică, dacă una este reală, atunci bistoș și cealaltă va fi reală, iar dacă una este complexă, atunci bistoș și cealaltă va fi complexă.

Ba, mai mult, dacă ambele soluții sunt numere complexe, atunci între aceste două numere complexe există o legătură minunată: ele sunt numere complexe conjugate (adică, ele diferă numai prin semnul părții imaginare, a părții care îl conține pe $i$). Mai exact, dacă ai reușit să găsești una dintre soluții, nu-ți mai bați capul cu cea de-a doua, căci știi că cea de-a doua este tocmai numărul complex conjugat al primului număr complex.



Pentru ecuațiile de gradul doi, elevul de liceu are la dispoziție o metodă generală de calcul, aceea „cu delta”. Elevul care cunoaște această metodă va putea rezolva orice ecuație de gradul doi.

Dar problema este și în cât timp o rezolvă! Degeaba cunoști metoda generală, dacă ai timp scurt la dispoziție. Și, de regulă, problemele de la Subiectul I trebuie rezolvate ceva mai rapid decât celelalte probleme, ca să vă rămână timp pentru ce este mai dificil.

Cu delta

Haideți să vedem, totuși, cam ce calcule trebuie să facem dacă avem timp sau răbdare și vrem să rezolvăm problema întâi cu delta. Pentru aceasta ne trebuie cei trei coeficienți ai ecuației. Coeficienții îi obținem dacă aducem ecuația la forma canonică, adică la forma $ax^2+bx+c=0$, deci cea care se termină cu zero.

Ecuația noastră este $z^2=-9$. Pentru a avea zero după semnul „egal”, îl vom duce pe $-9$ în stânga și vom obține atunci ecuația $$z^2+9=0,$$ mai exact, $$1\cdot z^2+0\cdot z+9=0,$$ care este forma canonică a ecuației date. De aici putem concluziona ușor că ecuația are coeficienții $a=1$, $b=0$ și $c=9$.

Mai departe, ne apucăm să-l calculăm pe delta, după formula binecunoscută $$\Delta=b^2-4ac,$$ deci, $$\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 9=0-36=-36.$$

O primă observație: delta este negativ! Asta înseamnă că ecuația nu are soluții reale, deci ambele soluții vor fi numere complexe (și chiar conjugate). Soluțiile vor fi date de formula $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}.$$

Așadar, $$z_{1,2}=\frac{-0\pm\sqrt{-36}}{2\cdot 1}=\frac{0\pm 6i}{2}=\color{red}{\pm 3i}.$$
Am obținut, așadar, cele două soluții complexe conjugate, știind că radicalul dintr-un număr negativ este ca și radicalul din acel număr pozitiv, după care mai punem $i$.

Fără delta

Fără delta, deci ceva mai rapid, avem două metode. O metodă directă și una indirectă, bazată pe formula de calcul prescurtat $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Metoda directă a fost deja prezentată fugitiv: radical dintr-un număr negativ este ca și radicalul din acel număr pozitiv, după care mai adăugăm un $i$. De exemplu, $\sqrt{-16}=\sqrt{16}i$. Și cum ecuația dată are soluții complexe conjugate, rezultă că $z_{1,2}=\pm\sqrt{-9}=\color{red}{\pm 3i}$.

Vreau să insist, însă, asupra metodei indirecte, pentru a vă prezenta ceva drăguț, cu formula de care ziceam $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Observați că această formulă este valabilă pentru o diferență de pătrate. Oare pentru o sumă nu este valabilă? Cât o fi $a^2+b^2$? Nu cumva s-ar putea descompune și această sumă într-un produs de paranteze? Haideți să vedem. Putem scrie $$a^2+b^2=a^2-(-b^2)=a^2-(bi)^2,$$
căci $i^2=-1$.

Așadar, putem scrie atunci $$a^2+b^2=(a-bi)(a+bi).$$ Iar cu această informație putem rezolva ecuația noastră printr-o metodă generală. Astfel, din ecuația $z^2=-9$, ducându-l pe 9 în stânga egalității, obținem o ecuație mai elegantă și anume $$z^2+9=0.$$ Cum $9=3^2$, mai putem scrie $$z^2+3^2=0,$$ adică $$(z-3i)(z+3i)=0.$$

Mai departe, ne amintim că un produs este zero atunci când unul dintre factori este zero. Așadar, produsul nostru poate fi pe rând zero, în ambele situații și fiecare situație în parte ne va da câte o soluție. Prima situație va fi $$z_1-3i=0,$$ de unde rezultă că $$z_1=3i,$$ iar a doua situație va fi $$z_2+3i=0,$$ deci $$\color{red}{z_{1,2}=\pm 3i}.$$

Iată, deci, ce de metode coerente sunt pentru a rezolva una și aceeași problemă. Tocmai din acest motiv mie mi se pare că matematica este cea mai ușoară materie: dacă nu știi să rezolvi o problemă pe o cale, atunci găsești o altă cale.