Faceți căutări pe acest blog

duminică, 3 ianuarie 2016

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.



Observați că toate cadranele sunt numerotate în ordine trigonometrică, adică în sens invers mersului acelor de ceasornic. Cel mai important cadran este cadranul I (unu roman). Aici se află unghiurile ascuțite, singurele unghiuri care pot fi componente ale unui triunghi dreptunghic.


Triunghiul dreptunghic are o valoare deosebită în trigonometrie. El permite definirea funcțiilor „sinus”, „cosinus”, „tangentă”, „cotangentă” în funcție de catetele și ipotenuza triunghiului dreptunghic respectiv. De asemenea, cercul trigonometric permite construcția unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu 1 (ca să fie mai ușor de calculat cu ea), deci cercul trigonometric are raza egală cu 1, raza cercului trigonometric fiind tocmai ipotenuza triunghiului dreptunghic din primul cadran.


Funcția sinus este raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză. Și cum ipotenuza este aleasă egală cu 1, sinusul devine tocmai egal cu cateta opusă. Mai exact
$$\sin u=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}=\frac{\text{cateta opusă}}{1}=\text{cateta opusă}.$$
$$\cos u=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}=\frac{\text{cateta alăturată}}{1}=\text{cateta alăturată}.$$

Așadar, sinusul este tocmai egal cu cateta opusă unghiului, iar cosinusul este tocmai egal cu cateta alăturată unghiului.


Acum imaginați-vă că punctul M de pe desen începe să se deplaseze pe cerc, îndepărtându-se de axa OX (axa verde). În acest caz, crește unghiul u, crește cateta opusă (deci crește sinusul) și scade cateta alăturată (deci scade cosinusul). Unghiul crește de la 0 la 90 de grade (90 de grade este echivalent cu $\frac{\pi}{2}$), sinusul crește de la 0 la 1, iar cosinusul scade de la 1 la 0. Cele mai importante valori ale unghiului, care sunt atinse în timpul deplasării indicate a punctului M, sunt 0 grade, 30 de grade, 45 de grade, 60 de grade și 90 de grade. Pentru fiecare dintre aceste valori, sinusul capătă valori ușor de reținut. Facem cu ele un tabel drăguț:


număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
$\color{red}{\text{sinusul}=\frac{\sqrt{număr}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{0}}{2}=0}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{4}}{2}=1}$


Acesta este cel mai important tabel, pe care trebuie să-l rețineți. Restul valorilor, pentru cosinus, tangentă și cotangentă rezultă din acest tabel. Mai exact, valorile pentru cosinus vor fi exact aceleași ca și pentru sinus, doar că vor apărea în ordine inversă. Așadar, pentru cosinus vom avea


număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
$\color{red}{\text{sinusul}=\frac{\sqrt{număr}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{0}}{2}=0}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{4}}{2}=1}$
cosinusul
$\color{lightgreen}{1}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{1}{2}}$
$\color{lightgreen}{0}$


Pentru tangentă avem valorile obținute din raportul dintre sinus și cosinus, deoarece
$$\tan u=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}=\frac{\text{sinus}}{\text{cosinus}}.$$


Așadar, tabelul pentru tangentă va veni în completare în felul următor:



număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
$\color{red}{\text{sinusul}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{0}}{2}=0}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{4}}{2}=1}$
cosinusul
$\color{lightgreen}{1}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{1}{2}}$
$\color{lightgreen}{0}$
tangenta
$\color{blue}{\frac{0}{1}=0}$
$\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
$\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1}$
$\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}}$
$\color{blue}{\frac{1}{0}=\pm\infty}$




Atenție mare la raportul $\frac{1}{0}=\pm\infty$! Este doar o notație simbolică. Doar știți că nu aveți voie să faceți împărțirea cu 0, căci obțineți rezultate îndoielnice. Unii notează această valoare cu o bară, tocmai pentru a evita confuziile. Eu am preferat, totuși, să prezint rezultatul mai sugestiv. 

Acolo, la tangentă de 30 de grade am obținut $\frac{\sqrt{3}}{3}$ deoarece am transformat fracția supraetajată într-un produs de fracții (cu a doua fracție răsturnată), apoi am raționalizat fracția rezultată, adică am amplificat fracția finală cu $\sqrt{3}$ și am obținut $$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$


În fine, cotangenta se comportă față de tangentă așa cum s-a comportat cosinusul față de sinus. Adică, valorile pentru cotangentă se scriu în tabel în ordine inversă celor pentru tangentă, căci cotangenta este inversul tangentei, adică este raportul dintre cateta alăturată și cea opusă, deci raportul dintre cosinus și sinus. Tabelul cotangentei va fi atunci:



număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
$\color{red}{\text{sinusul}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{0}}{2}=0}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{red}{\frac{\sqrt{4}}{2}=1}$
cosinusul
$\color{lightgreen}{1}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\color{lightgreen}{\frac{1}{2}}$
$\color{lightgreen}{0}$
tangenta
$\color{blue}{\frac{0}{1}=0}$
$\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
$\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1}$
$\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}}$
$\color{blue}{\frac{1}{0}=\pm\infty}$
cotangenta
$\color{yellow}{\frac{1}{0}=\pm\infty}$$\color{yellow}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}}$$\color{yellow}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1}$$\color{yellow}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
$\color{yellow}{\frac{0}{1}=0}$






Acest ultim tabel este tabelul complet al celor mai importante valori trigonometrice (adică al celor din primul cadran). N-ați uitat, deci, că dacă cunoașteți regula găsirii valorilor pentru sinus, ați rezolvat tot tabelul.