Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 13 ianuarie 2016

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?


Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul


Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.



Dacă în fața lui $x^2$ avem un număr pozitiv, atunci vârful acestei parabole este în jos, iar dacă în fața lui $x^2$ este ceva cu minus, atunci vârful parabolei va fi în sus.

Așa cum se vede și în grafic, funcția noastră (adică, valorile lui $y$, deci valorile de pe verticală) nu coboară foarte jos. Mai exact, nu coboară mai jos de vârf. În sus urcă ele până la infinit, dar în jos există o limită până la care coboară. Acea limită este tocmai valoarea minimă a funcției. Și asta ni se cere nouă. Deci, ni se cere să spunem cât de jos coboară această funcție.

Vârful este un punct. Un punct care are două coordonate, una corespunzătoare lui $x$, care ne spune unde se află vârful pe orizontală și una corespunzătoare lui $y$ care ne spune unde se află vârful pe verticală. V-am mai vorbit despre acest lucru într-un articol ce mi-este tare drag, dedicat funcției de gradul doi. Spuneam acolo că pe orizontală avem valorile lui $unde$, iar pe verticală avem valorile lui $cât$.

Nouă nu ni se cere unde este valoarea minimă, ci ni se cere cât este aceasta. Astfel, ni se cere, de fapt, coordonata $y$ a vârfului acestei parabole.

Iar elevul care știe mate, știe și care sunt coordonatele vârfului, coordonate despre care v-am vorbit în același articol. Acestea sunt $$V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right).$$ Aici apar coeficienții polinomului de gradul doi prin care este definită funcția.

În cazul nostru, $a=1$, $b=-5$, iar $c=4$. Cu aceste valori vom calcula pe $\Delta$, căci, după cum am văzut, nouă ne trebuie coordonata $y$ a vârfului, adică cea din dreapta.

Dar $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$. De asemenea, $4a=4\cdot 1=4$. Așadar, valoarea minimă a funcției va fi raportul $$y_{min}=-\frac{\Delta}{4a}=\large{\color{red}{-\frac{9}{4}}}.$$

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.