Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 5 septembrie 2015

Centrul de greutate al unui triunghi


Ca o continuare a unui articol mai vechi, vă readuc în atenție centrul de greutate al unui triunghi, dintr-o perspectivă mai largă.

Centrul de greutate al triunghiului este probabil cel mai important dintre centrele triunghiului (căci există mai multe asemenea centre: ortocentrul, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris). 


Dacă veți confecționa din tablă (sau din orice material subțire și omogen) un triunghi, de orice formă vreți voi, și îl veți suspenda apoi pe un singur deget așezat exact în centrul de greutate, triunghiul nu se va răsturna, ci va rămâne în echilibru în poziție orizontală.

În general, centrul de greutate este al unei figuri este dat de media aritmetică a centrelor figurilor componente. 

  • Astfel, centrul de greutate al unui segment este dat de media  aritmetică a celor două capete ale sale (dacă atribuim capetelor un număr corespunzător), adică tocmai mijlocul segmentului (deci, se află la o doime distanță de capăt). 
  • Apoi, centrul de greutate al unei figuri formate din mai multe segmente (în cazul triunghiului e vorba de trei segmente) va fi dat de media aritmetică a mijloacelor acelor segmente. Centrul de greutate al triunghiului se va afla la o treime distanță (din mediană) de mijlocul segmentului pe care cade mediana.
  • În fine, centrul de greutate al unui tetraedru (figură formată din patru triunghiuri) va fi media aritmetică a centrelor acelor triunghiuri. El se va afla la o pătrime distanță (din mediană) de centrul de greutate al triunghiului pe care cade mediana.
  • Dacă spațiul ar avea patru dimensiuni și nu trei, atunci am putea construi o figură ciudată formată din cinci tetraedre. Centrul de greutate al acestei ciudățenii s-ar afla la o cincime distanță (din mediană) de centrul de greutate al tetraedrului pe care cade mediana.

Observați, așadar, că centrul de greutate al unei figuri se află pe (toate) medianele acelei figuri. Mai exact, el se află la intersecția medianelor ! Dar ce o fi mediana? Concis spus, o mediană este segmentul care unește un anumit vârf al figurii, cu centrul de greutate al figurii opuse. Astfel, mediana într-un triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse, iar într-un tetraedru unește un vârf cu centrul de greutate al feței opuse.



În figură, segmentele AA', BB' și CC' sunt mediane. Ele unesc un vârf cu mijlocul laturii opuse (mijloc care este tocmai centrul de greutate al laturii). Centrul de greutate se află cuminte pe toate cele trei mediane ce pot fi duse în triunghi. Dacă ar fi vorba de tetraedru, atunci centrul de greutate s-ar afla, de asemenea, pe toate cele patru mediane posibile.

Ultima proprietate importantă a centrului de greutate al triunghiului rămâne, așadar, aceea că el se află la o treime din mediană față de mijlocul laturii opuse (iar în tetraedru s-ar afla la un sfert din mediană față de centrul de greutate al feței opuse).



Deci, rețineți măcar aceste două proprietăți esențiale pentru centrul de greutate al triunghiului:
  1. Se află la intersecția medianelor.
  2. Se află la o treime distanță din mediană față de latură (sau, ceea ce este același lucru, se află la două treimi de vârf).