O altă demonstrație pentru proprietatea medianei principale

Într-un articol anterior vă arătam că ipotenuza este dublul medianei duse din unghiul drept, iar demonstrația era bazată pe faptul că ipotenuza este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Vă voi prezenta aici o altă demonstrație pentru această proprietate minunată. Astfel, fie triunghiul dreptunghic ABC, dreptunghic în A. Ducem mediana principală AD (adică, mediana dusă din vârful unghiului drept), D fiind mijlocul ipotenuzei BC. 



Construim apoi linia mijlocie DE, unde E este mijlocul catetei AC. Cum DE este linie mijlocie (căci unește două mijloace), ea are proprietatea că este paralelă cu cateta AB (căci orice linie mijlocie este paralelă cu „baza”, adică cu cea de-a treia latură a triunghiului).

Dar atunci triunghiul CED este și el triunghi dreptunghic, în E, pentru că unghiul CED are aceeași măsură ca și unghiul CAB. 

Așadar, linia mijlocie DE este atât mediană, cât și înălțime în triunghiul ADC. Atunci rezultă că triunghiul ADC este triunghi isoscel! Deci, AD=DC. Și cum DC este jumătate din ipotenuză, înseamnă că și mediana AD este jumătate din ipotenuză. Ceea ce trebuia demonstrat.