Faceți căutări pe acest blog

duminică, 6 decembrie 2015

Calculați integrala (cu e la puterea u)


Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

În fine, elevul care a mai rezolvat astfel de integrale va ști că aici trebuie să folosească formula $$\color{red}{\int u'\cdot e^u dx=e^u+C}.$$

De-acum încolo, singura chichiță mai rămâne să găsim cine este $u$ la noi. Încercăm să vedem ce va ieși dacă îl luăm pe $u$ tocmai exponentul lui $e$, adică $u=x^4$. Apoi, imediat calculăm $u'$. Știți cât este $\left(x^4\right)^\prime$. Nu-i așa? 

Desigur, $\left(x^4\right)^\prime=4x^3$ pentru că așa se derivează funcția putere, adică $\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}$.

Așadar, $u'=4x^3$. Acum, să vedem dacă integrala noastră este de tipul $\int u'\cdot e^u dx=e^u+C$. Noi avem de calculat $\int x^3\cdot e^{x^4}dx$ și formula ne spune că numai dacă am avea $\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx$ am putea să aplicăm formula. Adică, ne lipsește acel $4$ din fața lui $x^3$.

Perfect. Dacă ne lipsește doar un număr (deci, ceva fără $x$), atunci nu e o lume. Pentru că noi știm că putem jongla ușor cu numere când acestea trebuie aduse sub integrală sau scoase de sub integrală (și cu derivata e la fel). Mai exact, iată cum vom obține acel $4$ de care avem nevoie sub integrală.

Primul pas va fi să observăm că în fața integralei putem spune că se află deja numărul $1$, pentru că orice expresie $E$ poate fi scrisă și ca $1\cdot E$. Apoi, vom scrie în loc de $1$ fracția $\frac{4}{4}$, căci nouă ne trebuie ceva cu $4$. Așadar, $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx=1\cdot\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{4}{4}\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Acum, ne folosim de faptul că unul dintre cele două numere $4$ poate fi pus sub integrală, acolo unde ne trebuie nouă ca să putem aplica formula roșie. Și cum nouă ne trebuie sub integrală acel $4$ de la numărător, în afara integralei va rămâne doar $4$ de la numitor, adică afară va rămâne fracția $\frac{1}{4}$. Deci, integrala devine atunci $$\frac{4}{4}\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{1}{4}\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx,$$ adică, sub integrală apare acum exact ceea ce ne trebuie nouă.

Și cum $$\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx=e^{4x}+C,$$ mai punem doar acel $\frac{1}{4}$ în fața acestui rezultat și avem răspunsul final $$\color{red}{\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{1}{4}e^{4x}+C}.$$

Observați că în loc de $\frac{1}{4}C$, cât ar fi trebuit să scriem după înmulțirea cu $\frac{1}{4}$, noi am scris doar $C$. Asta pentru că acea constantă poate fi aleasă arbitrar.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.