Calculați integrala (cu e la puterea u)

Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

În fine, elevul care a mai rezolvat astfel de integrale va ști că aici trebuie să folosească formula $$\color{red}{\int u'\cdot e^u dx=e^u+C}.$$

De-acum încolo, singura chichiță mai rămâne să găsim cine este $u$ la noi. Încercăm să vedem ce va ieși dacă îl luăm pe $u$ tocmai exponentul lui $e$, adică $u=x^4$. Apoi, imediat calculăm $u'$. Știți cât este $\left(x^4\right)^\prime$. Nu-i așa? 

Desigur, $\left(x^4\right)^\prime=4x^3$ pentru că așa se derivează funcția putere, adică $\left(x^n\right)^\prime=nx^{n-1}$.

Așadar, $u'=4x^3$. Acum, să vedem dacă integrala noastră este de tipul $\int u'\cdot e^u dx=e^u+C$. Noi avem de calculat $\int x^3\cdot e^{x^4}dx$ și formula ne spune că numai dacă am avea $\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx$ am putea să aplicăm formula. Adică, ne lipsește acel $4$ din fața lui $x^3$.

Perfect. Dacă ne lipsește doar un număr (deci, ceva fără $x$), atunci nu e o lume. Pentru că noi știm că putem jongla ușor cu numere când acestea trebuie aduse sub integrală sau scoase de sub integrală (și cu derivata e la fel). Mai exact, iată cum vom obține acel $4$ de care avem nevoie sub integrală.

Primul pas va fi să observăm că în fața integralei putem spune că se află deja numărul $1$, pentru că orice expresie $E$ poate fi scrisă și ca $1\cdot E$. Apoi, vom scrie în loc de $1$ fracția $\frac{4}{4}$, căci nouă ne trebuie ceva cu $4$. Așadar, $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx=1\cdot\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{4}{4}\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Acum, ne folosim de faptul că unul dintre cele două numere $4$ poate fi pus sub integrală, acolo unde ne trebuie nouă ca să putem aplica formula roșie. Și cum nouă ne trebuie sub integrală acel $4$ de la numărător, în afara integralei va rămâne doar $4$ de la numitor, adică afară va rămâne fracția $\frac{1}{4}$. Deci, integrala devine atunci $$\frac{4}{4}\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{1}{4}\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx,$$ adică, sub integrală apare acum exact ceea ce ne trebuie nouă.

Și cum $$\int 4x^3\cdot e^{x^4}dx=e^{4x}+C,$$ mai punem doar acel $\frac{1}{4}$ în fața acestui rezultat și avem răspunsul final $$\color{red}{\int x^3\cdot e^{x^4}dx=\frac{1}{4}e^{4x}+C}.$$

Observați că în loc de $\frac{1}{4}C$, cât ar fi trebuit să scriem după înmulțirea cu $\frac{1}{4}$, noi am scris doar $C$. Asta pentru că acea constantă poate fi aleasă arbitrar.