Să se calculeze $\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx$

V-am mai spus, când primim integrale, primul gând este TABELUL. Nu cumva integrala noastră este în tabel? Acesta este primul gând. Desigur, integrala noastră nu este în tabel, deci nu este chiar atât de simplă. Examinatorul nu ne-a sfidat inteligența, dându-ne o problemă prea simplă. :)

Dacă nu e în tabel, trecem la următorul gând. Nu cumva integrala noastră POATE FI ADUSĂ LA O FORMĂ în care să putem folosi tabelul? La acest al doilea gând insistăm mai mult. Pentru că, bineînțeles, dacă integrala nu este în tabel, atunci examinatorul ne-a dat o integrală pe care s-o putem transforma în așa fel încât să putem folosi până la urmă tabelul.



Așadar, ce formă ar putea avea această integrală pentru a o putea calcula cu tabelul? Am putea să credem că integrala poate fi abordată prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții. Mai exact, $\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}=\frac{1}{\sin^2x}\cdot\frac{1}{\cos^2x}$.

Dar, elevul care va merge pe această pistă greșită, se va lovi pe parcurs de o integrală mult mai dificilă care ar trebui calculată conform formulei de integrare prin părți, adică $\int f'g=fg-\int fg'$. Mai exact, deși am putea scrie ușor integrala noastră ca un produs dintre o funcție derivată și una nederivată (așa cum cere formula de integrare prin părți), am constata că pentru a doua integrală ar trebui să derivăm cealaltă funcție și ar ieși o expresie de speriat. Așa că mai bine să trecem direct la adevărata metodă de calcul al acestei integrale.

Toată șmecheria stă în acel $1$ de la numărător. Când aveți de a face cu funcții trigonometrice, este foarte posibil să fiți nevoiți să înlocuiți acest $1$ cu ceva interesant, care rezultă din TEOREMA FUNDAMENTALĂ A TRIGONOMETRIEI și anume cu $\sin^2x+\cos^2x$.

Atunci, integrala noastră devine $$\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx=\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}dx.$$

Mai departe ne folosim de faptul că putem despărți o fracție în două fracții dacă numărătorul este o sumă. Adică, putem scrie $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ În cazul nostru, vom avea atunci

$$\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}dx=\int\frac{\sin^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}dx.$$

Și mai departe ne folosim de proprietatea că putem simplifica fracțiile $$\frac{b}{b\cdot c}=\frac{1}{c}.$$ Adică, în fracțiile noastre de sub integrală putem simplifica cu $\sin^2x$ în prima fracție și cu $\cos^2x$ în cea de-a doua. Obținem atunci $$\int\frac{\sin^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2 x\cdot\cos^2x}dx=\int\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2 x}dx.$$

De-acum suntem aproape gata. Este suficient să ne amintim că o integrală dintr-o sumă devine o sumă de integrale, adică $\int(f+g)=\int f+\int g$. Asta înseamnă că $$\int\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2 x}dx=\int\frac{1}{\cos^2x}dx+\int\frac{1}{\sin^2 x}dx.$$

Dar ambele integrale sunt calculabile acum doar cu ajutorul tabelului! Mai exact, obținem în final că $$\color{red}{\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx=\tan{x}-\cot{x}+constanta}.$$

Yupppiiiii!