Să se calculeze $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}.$$

Pentru a calcula limita $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}$$ vom încerca întâi să înlocuim $x$-ul cu 3, să vedem ce iese. Am avea atunci $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\frac{5^3-125}{3-3}=\frac{125-125}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Dar, nimeni nu știe cât este $\frac{0}{0}$, pentru că această fracție este unul dintre cazurile de nedeterminare despre care v-am mai vorbit deja. Și am calculat deja o limită cu acest rezultat, doar că acolo aveam un raport de două polinoame, ori aici numărătorul nu este polinom (funcțiile exponențiale nu sunt funcții polinomiale).

Când ajungem prin înlocuire la asemenea cazuri de nedeterminare, trebuie să ne întoarcem înapoi la limită și să evităm pentru început înlocuirea. Apelăm atunci la alte opțiuni. În cazul polinoamelor opțiunea era să simplificăm cu $x-3$ dacă $x$-ul tindea spre 3. Dar în cazul nostru nu putem face asemenea simplificări. Și atunci o altă opțiune este să apelăm la formule cunoscute în liceu pentru a calcula asemenea limite.

Cele mai tari formule cu limite pe care le învățați în clasa a XI-a sunt următoarele:

1. $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\sin\color{blue}{ceva}}{\color{blue}{ceva}}=1.$$ 
   Tot atâta obținem chiar dacă înlocuim sinus cu tangentă, cu arcsinus sau cu arctangentă. Limita de mai sus ne mai șoptește printre altele următoarea propoziție: „Măi, fraților, măi, pentru valori extraordinar de mici ale lui $\color{blue}{ceva}$ îl puteți înlocui pe $\sin\color{blue}{ceva}$ cu $\color{blue}{ceva}$, că e mai simplu.” De exemplu, $$\sin\color{blue}{0,01}\approx \color{blue}{0,009999}8333341666.$$ Pentru o valoare și mai mică avem o apropiere și mai mare, căci $$\sin\color{blue}{0,000001}\approx \color{blue}{0,000000999999999999}8333341666,$$ deci apar și mai mulți de $9$ în rezultat. Și cu cât sunt mai mulți de $9$ în rezultat, cu atât este mai mică diferența dintre rezultat și argumentul sinusului.
   
   
   Deci, rețineți prima formulă de bază. Trecem la următoarele.
2. $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}(1+\color{blue}{ceva})^\frac{1}{\color{blue}{ceva}}=e\approx 2,718281828459045.$$
   De exemplu, dacă punem în locul $ceva$-ului o zecime, obținem $$(1+\color{blue}{0,1})^\frac{1}{\color{blue}{0,1}}\approx 2,593742460100002.$$ Dacă punem o valoare și mai mică, de exemplu, o sutime, atunci obținem $$(1+\color{blue}{0,01})^\frac{1}{\color{blue}{0,01}}\approx 2.704813829421529,$$ adică, o valoare și mai apropiată de $e$. 
   (Calculele le-am făcut cu Maxima, căci dacă le făceam manual, mi-ar fi luat luni întregi de lucru.)
   În fine, dacă $ceva$-ul se anulează, atunci se produce minunea: rezultatul devine egal cu $e$, adică cu numărul ce poartă numele lui Euler, cel mai prolific matematician din toate timpurile. Numărul $e$ este cel mai important număr din analiza matematică, așa cum numărul $\pi$ este cel mai important număr din geometrie. Două numere ciudate, care sunt rezultate ale unor limite normale.
   
   
   Buuun. Acum, dup-atâta vorbărie, trecem la altă formulă.
3. $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\ln(1+\color{blue}{ceva})}{\color{blue}{ceva}}=1.$$
   Aici, $\ln$ înseamnă „logaritm natural”, adică logaritmul care are la bază tocmai numărul $e$ despre care v-am vorbit mai sus. Astfel, puteți constata că această formulă rezultă din formula precedentă, dacă o logaritmăm cu logaritmul natural, adică dacă aplicăm logaritmul natural celor doi termeni ai egalității din formulă.
4. O altă formulă faină, dar utilizată ceva mai rar,  este $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{(1+\color{blue}{ceva})^{\color{green}{altceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\color{green}{altceva}.$$
5. Și, în fine, formula care ne trebuie nouă (și care seamănă puțin cu cea de mai sus, de parcă exponentul devine bază și baza devine exponent) este $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\color{green}{altceva}^{\color{blue}{ceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\ln\color{green}{altceva}.$$
6. Dacă, în formula precedentă punem în loc de $\color{green}{altceva}$ tocmai numărul lui Euler, obținem o altă formulă mai simplă, dar foarte importantă $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{e^{\color{blue}{ceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\ln{e}=1.$$ Logaritmul natural din numărul lui Euler este tocmai $1$ și de aceea am spus că această formulă este mai simplă decât precedenta.

V-am spus? Sau, am uitat să vă spun? Dacă nu v-am spus încă, vă spun acum: un elev de clasa a XI-a trebuie să cunoască aceste formule pentru a putea calcula bine limitele. Dacă nu le știe, atunci nu va lua nici măcar un cinci amărât în teză, decât dacă proful este foarte indulgent.

Buuun. Atunci să revenim la limita noastră, că ne-am îndepărtat cam multișor de ea. Deci. Ziceam că trebuie să folosim o formulă pentru a o calcula. O formulă dintre cele de mai sus, pe care trebuie să le învățăm. Care dintre ele? A cincea. Adică, $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\color{green}{altceva}^{\color{blue}{ceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\ln\color{green}{altceva}.$$

Și cum dumnezeu am știut eu că trebuie să folosesc tocmai cea de-a cincea formulă și nu alta? Păi, uitați-vă la celelalte formule. Cât de diferite sunt celelalte! Doar a cincea este cea care seamănă cu problema noastră, cea care ne-ar putea salva. Și am să vă arăt cum, dacă încă nu v-ați făcut o idee.

Să punem problema alături de posibila soluție, deci punem problema mai aproape de formula a cincea: $$\text{Problema: }\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\text{?}$$

$$\text{Posibila soluție (formula a cincea: )}$$ $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\color{green}{altceva}^{\color{blue}{ceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\ln\color{green}{altceva}.$$

Observați vreo legătură între cele două? Între problemă și formulă? Nu-i așa că ele seamănă puțin? Cum să facem să semene și mai mult? Cu ce element din problemă ar trebui să asociem $\color{blue}{ceva}$-ul din formulă?

Haideți să vedem ce iese dacă ne luăm după numitor și punem $$\color{blue}{ceva}=x-3.$$ Să vedem atunci dacă putem aplica formula noastră. Prima întrebare este dacă $\color{blue}{ceva}$-ul astfel definit tinde la zero, așa cum cere formula. Mai exact, problema ne spune că $x$ tinde la $3$. În aceste condiții $\color{blue}{ceva}$-ul tinde la zero? Păi, ian să vedem: dacă $x$ tinde la $3$, spre ce tinde atunci $x-3$? Evident, spre zero. Exact cum ne trebuie nouă.

Se pare, deci, că, cel puțin din punctul de vedere al tendinței spre zero, suntem pe drumul bun cu presupunerea noastră conform căreia $\color{blue}{ceva}$-ul poate fi considerat ca fiind $x-3$.

Mai departe, ar fi bine să ne gândim la ceea ce vom considera din problemă ca fiind $\color{green}{altceva}$. Cred că acest $\color{green}{altceva}$ nu poate fi decât tocmai $5$. 

Atunci ne mai rămân doar două probleme grave:

1. În problemă, exponentul lui $5$ este $x$, iar în formulă ar trebui să fie $\color{blue}{ceva}$, adică $x-3$.
2. În problemă, numărătorul se termină cu $125$, pe când în formulă numărătorul se termină cu $1$.

Să vedem cum putem rezolva aceste două probleme. Vom vedea că soluția va fi magică, deoarece ea ne va furniza simultan rezolvarea pentru ambele probleme de mai sus. Dar înainte de a v-o arăta, vom face un pas intermediar. Ne vom gândi ceva mai mult la numărătorul problemei. 

Numărătorul problemei este $5^x-125$. Gândindu-ne concentrați doar la acest numărător și obsedați fiind de cele două probleme pe care trebuie să le rezolvăm, mintea ne va arăta primul pas. Vom observa că $125$ poate fi scris ca o putere a lui $5$. Mai exact, $$125=5^3.$$

Cu aceasta, numărătorul nostru devine de fapt $$5^x-125=5^x-5^3.$$ Mai departe, împovărați de gândul că numărătorul formulei se termină cu $1$, ne vom chinui să aflăm cum am putea scăpa de acest $5^3$ și să-l transformăm în acel $1$ pe care îl dorim cu atâta ardoare. Cum putem obține dintr-un număr oarecare tocmai $1$? Profundă întrebare! Hmmm...

Dacă împărțim $4$ la $4$ obținem $1$. La fel, dacă împărțim $5$ la $5$, obținem tot $1$. Tot așa, dacă împărțim pe $5^3$ cu $5^3$ vom obține $1$. Asta mai înseamnă că în loc de $4$ putem scrie $4\cdot 1$, în loc de $5$ putem scrie $5\cdot 1$, iar în loc de $5^3$ putem scrie $5^3\cdot 1$.

Cu această „filozofie” oarecum plictisitoare pentru unii, numărătorul nostru începe să ne arate acel $1$ de care avem nevoie, căci devine $$5^x-5^3=5^x-5^3\cdot 1.$$ Acum ne gândim cum am putea scăpa de acel $5^3$ de lângă $1$, ca să ni-l lase pe $1$ singur, în pace, așa cum dorim noi să fie, ca în formulă.

Păi, ca să scăpăm de un factor al unui produs, este suficient să „dăm factor comun” pe acel factor. Ce vreau să spun cu asta? Vreau să spun că mi-ar plăcea să dau cumva factor comun pe $5^3$ în numărătorul nostru. Dând factor comun, numărătorul va deveni $$5^x-5^3=5^3\left(\frac{5^x}{5^3}-1\right).$$

Am ajuns într-un punct foarte important al rezolvării noastre. Dacă ne amintim din clase mai mici că $$\frac{5^x}{5^3}=5^{x-3},$$ atunci veți înțelege de ce am spus mai sus că „soluția va fi magică”. Pentru că puteți observa acum că numărătorul devine $$5^x-5^3=5^3(5^{x-3}-1)=5^3(5^\color{blue}{ceva}-1).$$

Cu aceasta, rezolvarea problemei noastre se apropie de final. Ce a fost mai greu a trecut. De-acum, putem scrie că $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{5^3(5^{x-3}-1)}{x-3}.$$

Și cum $x-3=\color{blue}{ceva}$, obținem de fapt $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{5^3(5^\color{blue}{ceva}-1)}{\color{blue}{ceva}}.$$

Mai departe, putem să-l scoatem pe $5^3$ în fața limitei, din moment ce el nu încurcă limita cu nimic (orice factor ce nu-l conține pe $x$ poate fi scos în fața limitei). Atunci, avem $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=5^3\cdot\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{5^\color{blue}{ceva}-1}{\color{blue}{ceva}}.$$

Și cum aici regăsim formula a cincea $$\lim_{\color{blue}{ceva}\to 0}\frac{\color{green}{altceva}^{\color{blue}{ceva}}-1}{\color{blue}{ceva}}=\ln\color{green}{altceva},$$ în care $\color{green}{altceva}$ este de fapt $5$, obținem rezolvarea finală a problemei:

$$\large\color{red}{\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=5^3\cdot\ln 5}.$$