V1S1P4: Calculați probabilitatea ca, pentru un număr $a$ din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$, expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ să fie cub perfect

Din ceea ce se învață în liceu, știm că probabilitatea este o fracție care are la numărător (deci sus) „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor „numărul cazurilor posibile”. Întotdeauna, numărul de jos (deci cel de la numitor) este mai mare sau cel puțin egal cu numărul de la numărător. De parcă numărul mare este mai greu și se scufundă, lăsându-l pe cel mai ușor deasupra. Astfel, probabilitatea este întotdeauna un număr mai mic decât unu sau cel mult egal cu unu, ceea ce mai înseamnă că probabilitatea este mereu un număr subunitar sau eventual echiunitar, niciodată supraunitar.

Mate pentru BAC

Piscălind pe tabletă prin Android după diverse aplicații utile, am găsit ceva care merită amintit aici pentru voi, dragi elevi: aplicația „Mate pentru BAC”. Există și pentru iOS. Instalați-o, căci nu veți regreta. 

Vreau să felicit autorii aplicației cu această ocazie și să mă înclin în fața lor cu adâncă plecăciune.

V1S1P3: Să se rezolve ecuația $\sin x-\cos x=1$

Ecuația $\sin x-\cos x=1$ din enunț este o ecuație trigonometrică. De regulă, ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții, dar cele mai interesante se află în intervalul $[0, 2\pi)$. Dacă găsim soluțiile interesante (deci, soluțiile care se află pe cercul trigonometric, căci intervalul $[0, 2\pi)$ reprezintă toate cele patru cadrane la un loc, patru sferturi în care este împărțit cercul), atunci restul soluțiilor se repetă prin adunare cu $360^\circ$ (sau cu $2\pi$, dacă vorbim în radiani, nu în grade).

Așadar, ne vom concentra întâi pe găsirea soluțiilor interesante, aflate în intervalul $[0,2\pi)$. Pentru aceasta, vă invit să aruncăm întâi o privire asupra ecuației, de data aceasta cu intenția de a ghici măcar câteva soluții. Obișnuiți-vă mintea să lupte și cu astfel de încercări, să ghicească soluțiile unor probleme chiar dacă încă nu are metoda riguroasă de a le obține.

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?

Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul

Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.

Problema V1SIP1: Să se rezolve în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-9$.

Încep aici cu această primă problemă dintr-o variantă de bacalaureat pe care v-o propun în viitor. V1 înseamnă varianta 1, SI înseamnă subiectul I, iar P1 înseamnă problema 1.

Pentru a rezolva o ecuație trebuie să găsim toate numerele posibile care, puse în locul necunoscutei ce apare în ecuație, duc spre un adevăr.

Ecuația noastră este o ecuație de gradul doi. Ecuațiile de gradul doi sunt tare drăguțe, căci ele au musai două soluții și musai de același fel (aceeași natură); adică, dacă una este reală, atunci bistoș și cealaltă va fi reală, iar dacă una este complexă, atunci bistoș și cealaltă va fi complexă.

Ba, mai mult, dacă ambele soluții sunt numere complexe, atunci între aceste două numere complexe există o legătură minunată: ele sunt numere complexe conjugate (adică, ele diferă numai prin semnul părții imaginare, a părții care îl conține pe $i$). Mai exact, dacă ai reușit să găsești una dintre soluții, nu-ți mai bați capul cu cea de-a doua, căci știi că cea de-a doua este tocmai numărul complex conjugat al primului număr complex.

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.