Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 


Să zicem că va încerca să calculeze din start o parte din integrala $I_{n+1}$, căutând să găsească cumva o legătură cu integrala $I_n$. 

Pentru început el știe că $$(1-x^2 )^{n+1}=(1-x^2)(1-x^2)^n.$$

Atunci va scrie că  $$I_{n+1}=\int_0^1 (1-x^2 )^{n+1}dx=\int_0^1 (1-x^2)(1-x^2)^ndx.$$

Apoi, desfăcând prima paranteză, va avea  $$I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n-x^2 (1-x^2)^ndx,$$ deci $$I_{n+1}=I_n-\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx.$$

Ajuns aici, se gândește că i-a mai rămas de calculat integrala $$\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx$$ care îl tentează să o calculeze prin părți. Ca să o poată calcula prin părți, face rapid pe ciornă derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$,  ca să vadă dacă nu cumva apare sub integrală, și obține $$\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime=(n+1)(1-x^2)^n(-2x),$$ (căci a folosit derivata cu $u$ și a adăugat $u'$).

Deci, da, apare sub integrală derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$ cu niște mici excepții date de absenţa numărului $2$ și a lui $(n+1)$, dar aceasta se poate rezolva ușor dacă adăugăm în fața integralei numărul $\frac{1}{2 (n+1)}$.

Atunci, elevul poate scrie fericit că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x(-2x)(n+1)(1-x^2)^ndx.$$ Observați că a furat minusul din fața integralei ca să îi iasă bine derivata. Așadar, $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime dx.$$

Calculând prin părți, obține mai departe că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1-\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x'(1-x^2)^{n+1} dx.$$

Dar termenul $$\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1$$ dispare căci este nul. Așadar, elevul va obține o relație de toată frumusețea $$I_{n+1}=I_n-\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}.$$

De-acum elevul știe că va ajunge imediat la relația căutată și îl năpădește o bucurie fără margini. Cu febrilitate va arunca în stânga (la locul său) termenul aflat în dreapta egalității care îl conține pe $I_{n+1}$ și va obține $$I_{n+1}+\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}=I_n.$$

Dându-l factor comun pe $I_{n+1}$, va obține   $$\left(1+\frac{1}{2(n+1)}\right)I_{n+1}=I_n.$$

Așadar, $$\frac{2(n+1)+1}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ de unde $$\frac{2n+3}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ relație care este, desigur, echivalentă cu relația din enunț $$\color{red}{(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n}.$$