Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$
Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.
Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă.
Să zicem că va încerca să calculeze din start o parte din integrala $I_{n+1} $, căutând să găsească cumva o legătură cu integrala $I_n$.
Pentru început el știe că $$(1-x^2 )^{n+1}=(1-x^2)(1-x^2)^n. $$
Atunci va scrie că $$I_{n+1}=\int_0^1 (1-x^2 )^{n+1}dx=\int_0^1 (1-x^2)(1-x^2)^ndx. $$
Apoi, desfăcând prima paranteză, va avea $$I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n-x^2 (1-x^2)^ndx, $$ deci $$I_{n+1}=I_n-\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx.$$
Ajuns aici, se gândește că i-a mai rămas de calculat integrala $$\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx$$ care îl tentează să o calculeze prin părți. Ca să o poată calcula prin părți, face rapid pe ciornă derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$, ca să vadă dacă nu cumva apare sub integrală, și obține $$\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime=(n+1)(1-x^2)^n(-2x), $$ (căci a folosit derivata cu $u$ și a adăugat $u'$).
Deci, da, apare sub integrală derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$ cu niște mici excepții date de absenţa numărului $2$ și a lui $(n+1)$, dar aceasta se poate rezolva ușor dacă adăugăm în fața integralei numărul $\frac{1}{2 (n+1)}$.
Atunci, elevul poate scrie fericit că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x(-2x)(n+1)(1-x^2)^ndx.$$ Observați că a furat minusul din fața integralei ca să îi iasă bine derivata. Așadar, $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime dx.$$
Calculând prin părți, obține mai departe că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1-\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x'(1-x^2)^{n+1} dx.$$
Dar termenul $$\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1$$ dispare căci este nul. Așadar, elevul va obține o relație de toată frumusețea $$I_{n+1}=I_n-\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}.$$
De-acum elevul știe că va ajunge imediat la relația căutată și îl năpădește o bucurie fără margini. Cu febrilitate va arunca în stânga (la locul său) termenul aflat în dreapta egalității care îl conține pe $I_{n+1}$ și va obține $$I_{n+1}+\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}=I_n.$$
Dându-l factor comun pe $I_{n+1}$, va obține $$\left(1+\frac{1}{2(n+1)}\right)I_{n+1}=I_n.$$
Așadar, $$\frac{2(n+1)+1}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ de unde $$\frac{2n+3}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ relație care este, desigur, echivalentă cu relația din enunț $$\color{red}{(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n}. $$
Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.
Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă.
Să zicem că va încerca să calculeze din start o parte din integrala $I_{n+1} $, căutând să găsească cumva o legătură cu integrala $I_n$.
Pentru început el știe că $$(1-x^2 )^{n+1}=(1-x^2)(1-x^2)^n. $$
Atunci va scrie că $$I_{n+1}=\int_0^1 (1-x^2 )^{n+1}dx=\int_0^1 (1-x^2)(1-x^2)^ndx. $$
Apoi, desfăcând prima paranteză, va avea $$I_{n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n-x^2 (1-x^2)^ndx, $$ deci $$I_{n+1}=I_n-\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx.$$
Ajuns aici, se gândește că i-a mai rămas de calculat integrala $$\int_0^1x^2 (1-x^2)^ndx$$ care îl tentează să o calculeze prin părți. Ca să o poată calcula prin părți, face rapid pe ciornă derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$, ca să vadă dacă nu cumva apare sub integrală, și obține $$\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime=(n+1)(1-x^2)^n(-2x), $$ (căci a folosit derivata cu $u$ și a adăugat $u'$).
Deci, da, apare sub integrală derivata funcției $(1-x^2)^{n+1}$ cu niște mici excepții date de absenţa numărului $2$ și a lui $(n+1)$, dar aceasta se poate rezolva ușor dacă adăugăm în fața integralei numărul $\frac{1}{2 (n+1)}$.
Atunci, elevul poate scrie fericit că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x(-2x)(n+1)(1-x^2)^ndx.$$ Observați că a furat minusul din fața integralei ca să îi iasă bine derivata. Așadar, $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x\left[(1-x^2)^{n+1}\right]^\prime dx.$$
Calculând prin părți, obține mai departe că $$I_{n+1}=I_n+\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1-\frac{1}{2(n+1)}\int_0^1x'(1-x^2)^{n+1} dx.$$
Dar termenul $$\frac{1}{2(n+1)}x(1-x^2)^{n+1}\Big|_0^1$$ dispare căci este nul. Așadar, elevul va obține o relație de toată frumusețea $$I_{n+1}=I_n-\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}.$$
De-acum elevul știe că va ajunge imediat la relația căutată și îl năpădește o bucurie fără margini. Cu febrilitate va arunca în stânga (la locul său) termenul aflat în dreapta egalității care îl conține pe $I_{n+1}$ și va obține $$I_{n+1}+\frac{1}{2(n+1)}I_{n +1}=I_n.$$
Dându-l factor comun pe $I_{n+1}$, va obține $$\left(1+\frac{1}{2(n+1)}\right)I_{n+1}=I_n.$$
Așadar, $$\frac{2(n+1)+1}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ de unde $$\frac{2n+3}{2(n+1)}I_{n+1}=I_n,$$ relație care este, desigur, echivalentă cu relația din enunț $$\color{red}{(2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n}. $$
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.