Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.
Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.
Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.
Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.
Așadar, cum ar trebui să fie funcția dată pentru ca inegalitatea din enunț să fie adevărată? Bineînțeles, crescătoare, ba chiar strict crescătoare, ca să nu avem probleme cu semnul egal. Căci funcțiile care nu sunt strict monotone transformă inegalitățile în inegalități nestricte, adică în inegalități care conțin și semnul egal). Iar nouă nu ne trebuie aici niciun fel de egal, ci vrem să avem o inegalitate pură, strictă.
Ok. Haideți să arătăm că funcția dată este crescătoare în porțiunea (intervalul) de numere în care se află și numerele $2\sqrt 3 $ și $3 \sqrt 2$.
Pentru a studia monotonia funcției, ar trebui să construim tabelul de monotonie. Dar noi acum ne vom folosi de celelalte articole scrise pe acest blog. Noi avem deja un alt articol în care am arătat că $e^x\geq x+1$. Citiți cu atenție articolul și veți înțelege cum se demonstrează o inegalitate de acest gen.
Așadar, fiind deja demonstrată inegalitatea $e^x\geq x+1$, putem arunca în partea stângă termenii din dreapta acestei inegalități și obținem $$e^x-x-1\geq 0.$$
Dar ceea ce vedem acum în stânga acestei inegalități este tocmai derivata funcției $f(x)$ din problema noastră, căci $f'(x)=e^x-x-1$ (așa cum am arătat deja la subpunctul a). Și atunci ce ne spune faptul că derivata funcției noastre este pozitivă? Bineînțeles, ne spune că funcția este crescătoare.
Și cum derivata se anulează doar în $x=0$, rezultă că în rest derivata este strict pozitivă, deci, în rest și funcția este strict crescătoare, așa cum am și vrut să găsim. Și cum ambele valori date de $2\sqrt 3$ și $3\sqrt 2$ se află de aceeași parte a lui zero (ambele fiind mai mari ca zero), rezultă că inegalitatea din enunț este complet demonstrată (bineînțeles, dacă mai țineți minte ce spuneam la începutul demonstrației).
Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.
Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.
Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.
Așadar, cum ar trebui să fie funcția dată pentru ca inegalitatea din enunț să fie adevărată? Bineînțeles, crescătoare, ba chiar strict crescătoare, ca să nu avem probleme cu semnul egal. Căci funcțiile care nu sunt strict monotone transformă inegalitățile în inegalități nestricte, adică în inegalități care conțin și semnul egal). Iar nouă nu ne trebuie aici niciun fel de egal, ci vrem să avem o inegalitate pură, strictă.
Ok. Haideți să arătăm că funcția dată este crescătoare în porțiunea (intervalul) de numere în care se află și numerele $2\sqrt 3 $ și $3 \sqrt 2$.
Pentru a studia monotonia funcției, ar trebui să construim tabelul de monotonie. Dar noi acum ne vom folosi de celelalte articole scrise pe acest blog. Noi avem deja un alt articol în care am arătat că $e^x\geq x+1$. Citiți cu atenție articolul și veți înțelege cum se demonstrează o inegalitate de acest gen.
Așadar, fiind deja demonstrată inegalitatea $e^x\geq x+1$, putem arunca în partea stângă termenii din dreapta acestei inegalități și obținem $$e^x-x-1\geq 0.$$
Dar ceea ce vedem acum în stânga acestei inegalități este tocmai derivata funcției $f(x)$ din problema noastră, căci $f'(x)=e^x-x-1$ (așa cum am arătat deja la subpunctul a). Și atunci ce ne spune faptul că derivata funcției noastre este pozitivă? Bineînțeles, ne spune că funcția este crescătoare.
Și cum derivata se anulează doar în $x=0$, rezultă că în rest derivata este strict pozitivă, deci, în rest și funcția este strict crescătoare, așa cum am și vrut să găsim. Și cum ambele valori date de $2\sqrt 3$ și $3\sqrt 2$ se află de aceeași parte a lui zero (ambele fiind mai mari ca zero), rezultă că inegalitatea din enunț este complet demonstrată (bineînțeles, dacă mai țineți minte ce spuneam la începutul demonstrației).
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.