Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx.$$



Vi se pare că ar fi complicată această integrală? Mie nu mi se pare. Pentru că din această integrală ce ar putea părea complicată putem să facem două integrale mai micuțe și mai simpluțe. Deci, avem $$I_1=\int_0^1 1 dx-\int_0^1 x^2 dx.$$

În continuare, deoarece integralele implicate sunt atât de simple și de uzuale încât se regăsesc în tabel, putem scăpa de integrale și ajungem la "bare", adică, avem $$I_1=x\Big|_0^1-\frac{x^3} {3}\Big|_0^1.$$

De-acum trebuie să mai scăpăm și de bare, înlocuindu-l pe $x$ cu $1$ și, respectiv, cu $0$, ca într-un exemplu vechi dintr-un alt articol. Obținem astfel în final $$I_1=1-0-\frac {1^3}{3}+ \frac {0^3}{3}=1-\frac 13=\frac 1 1-\frac 1 3=\color{red} {\frac 2 3}.$$