Există un raport prețios cu care putem afla dacă o funcție numerică este crescătoare sau este descrescătoare (bineînțeles, pe un anumit interval de numere reale). Iată acest raport: $$R=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Aici, $x$ și $y$ sunt numere distincte din domeniul de definiție al funcției.
Dacă acest raport este strict pozitiv pe un anumit interval, atunci funcția este strict crescătoare pe acel interval. Dacă raportul este negativ, funcția este descrescătoare, iar dacă raportul este nul, funcția este constantă.
De exemplu, funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dată de legea $f(x)=x^3-9$ are raportul de monotonie $$R=\frac{x^3-9-y^3+9}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}=$$
$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$ rezultat despre care se poate arăta ușor că este pozitiv pentru orice valori distincte $x$ și $y$ (discriminantul rezultatului este negativ) și este nul doar pentru ambele valori nule. Cum rezultatul este pozitiv peste tot, avem că funcția este crescătoare pe tot intervalul de definiție (sau strict crescătoare pe $\mathbb{R^*}$).
Acest raport este util elevilor din prima treaptă a liceului, urmând ca după ce vor învăța derivatele (într-a XI-a) să determine monotonia trecând la limită acest raport și transformându-l în derivată.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.