Calculați $i^i$.

Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.


Desigur, nici un examinator nu vă va cere să arătați cifrele pe care le are numărul $3125^{625}$ atunci când v-a cerut să calculați asta. Ci vă va cere să arătați că acest număr poate fi adus de fapt la forma $5^{5^5}$. De asemenea, nu vă va cere să arătați fără calculator care sunt cifrele lui $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ci vă va cere să arătați că acest număr este de fapt tocmai $\sqrt 2$. Așadar, examinatorul vă va cere eleganță, căci eleganța calculelor voastre spune multe despre câtă matematică știți, câtă matematică simțiți.

Tot astfel, nici mie nu-mi trebuie cifrele numărului $i^i$, (număr care este ceva de genul 0,20787957635076...) ci îmi trebuie o altă formă, mai interesantă, mai compactă, care să spună ceva mai mult.

În septembrie 2014 am scris un articol despre cea mai remarcabilă formulă matematică. Spuneam acolo că această formulă este $$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$ Aveți aici o formulă foarte puternică, valabilă pentru orice număr complex pe care l-ați putea pune voi în locul lui $x$.

De exemplu, dacă în locul lui $x$ voi puneți tocmai $\pi$, atunci obțineți $$e^{i\pi}=-1,$$ deoarece $\cos\pi=-1$, iar $\sin\pi=0$. De asemenea, dacă în locul lui $x$ veți pune $\frac{\pi}{2}$, atunci veți obține $$e^{\frac{i\pi}{2}}=i,$$ deoarece $\cos\frac{\pi}{2}=0$, iar $\sin\frac{\pi}{2}=1$.

Bineînțeles, funcțiile sinus și cosinus sunt funcții periodice ale căror valori se repetă din nou după o perioadă de $2\pi$, așa că nu doar $e^{i\pi}$ este $-1$, ci și $e^{3i\pi}$ sau $e^{5i\pi}$. Dar pe noi ne va interesa valoarea inițială, aceea în care nu apar termeni suplimentari cu $\pi$. 

Încercăm așadar să găsim o formă faină pentru $i^i$, bazați pe faptul dedus din formula lui Euler, cum că $i=e^{\frac{i\pi}{2}}$. Ridicăm această egalitate la puterea $i$. Obținem atunci $$i^i=\left(e^{\frac{i\pi}{2}}\right)^i.$$ Apoi, pentru a scăpa de paranteză, ne vom folosi de proprietatea că $$\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}.$$ Atunci $$i^i=\left(e^{\frac{i\pi}{2}}\right)^i=e^{\frac{i\pi}{2}\cdot i}.$$

Dar, prin definiție, $i\cdot i=i^2=-1$, căci $i$ este litera folosită pentru a nota $\sqrt -1$. Atunci $$i^i=e^\frac{-\pi}{2}.$$ Ne mai folosim de proprietatea că $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (exponentul puterii își schimbă semnul dacă ducem puterea la numitor) și de proprietatea că $a^\frac{p}{q}=\sqrt[q]{x^p}$ (puterea cu exponent fracționar se poate scrie ca un radical), obținem forma finală a lui $i^i$: $$\large{\color{red}{i^i=\frac{1}{\sqrt{e^\pi}}}}.$$
Fascinant! Nu-i așa? Ce legătură profundă între numărul complex $i$ și numerele reale $e$ și $\pi$!