Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate

Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.

Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0), $$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.

Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.

Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:

În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:

PRIMA SPEȚĂ

Primul caz de discontinuitate care se naște este acela în care există:

1.  cel mult trei (și, desigur, cel puţin două, ca să putem vorbi despre discontinuitate) capete întrerupte ale graficului, cel mult trei ordonate ce corespund punctului de discontinuitate respectiv,
2.  iar distanța dintre aceste capete este finită. 

În acest caz, funcția nu este nebună rău de tot căci saltul sau salturile pe care trebuie să le facem cu creionul atunci când desenăm graficul funcției sunt rezonabile, adică sunt normale, adică sunt omenește posibil de făcut cu creionul, adică sunt, cum ziceam, finite.

Spunem în acest caz că punctul de discontinuitate respectiv este „de PRIMA SPEȚĂ”. În acest caz, distanța (pe verticală) dintre sfârșitul porțiunii din stânga a graficului funcției și începutul porțiunii din dreapta a acestui grafic este finită (și nenulă, desigur, ca să vorbim despre discontinuitate).

Sfârșitul porțiunii din stânga este tocmai limita la stânga a funcției în punctul dat (limită notată, de regulă, cu $l_s(x_0)$), iar începutul porțiunii din dreapta este tocmai limita la dreapta acolo ($l_s(x_0)$). 

Pentru ca aceste limite să existe, trebuie ca fiecare dintre ele să fie finite și să fie unice, adică să ducă fiecare la o singură valoare. Deci ambele împreună duc la cel mult două valori, eventual (dar nu obligatoriu) diferite între ele. 

Iar una dintre aceste valori, să zicem $l_s(x_0)$ sau respectiv $l_d(x_0)$, (dar numai una dintre ele, altfel funcția este continuă) poate fi egală cu valoarea atribuită funcției în acel punct, valoare pe care o notăm $f(x_0)$.


În rezumat, scris mai riguros, într-un punct de discontinuitate de prima speță al unei funcții de liceu, NU au loc egalitățile următoare: $$l_s(x_0)=l_d(x_0)=f(x_0),$$ deși toate numerele care apar în aceste egalități există și sunt finite. 

Și cum imaginile sunt cele mai grăitoare, facem un rezumat vizual al vorbăriei de mai sus.

Funcție discontinuă de prima speță, dar continuă la stânga, deoarece punctul albastru (dat de $f(x_0)$) coincide cu capătul din stânga al graficului funcției: 

Discontinuă de prima speță, dar continuă la dreapta:


Discontinuă de prima speță fără a fi continuă la dreapta sau la stânga:

Limite laterale egale, dar diferite de valoarea funcției în acel punct, deci funcție totuși discontinuă, de prima speță:

A DOUA SPEȚĂ

În toate celelalte cazuri pe care vi le mai puteți imagina, punctul de discontinuitate se numește „de A DOUA SPEȚĂ”. În acest caz sunt posibile iar două situații:

FĂRĂ LIMITĂ

În cazul discontinuității de a doua speță se poate să avem mai multe ordonate (decât cel mult trei, cum era la prima speță) care corespund unei abscise. În acest caz mai spunem că (cel puțin) una dintre cele două limite laterale nu există. Căci dacă o limită duce la două valori diferite, atunci spunem că ea nu există. 

CU LIMITĂ INFINITĂ

Sau se poate să avem doar două ordonate, ca în cazul primei spețe, însă distanța dintre aceste ordonate să fie infinită. Deci, în acest caz, chiar dacă există ambele limite laterale, totuşi (cel puțin) una dintre cele două limite este infinită.

În imagini, avem o descriere mai clară.
Iată mai jos o funcție care, deși este continuă la dreapta în $x_0$, totuşi la stânga lui $x_0$ ea este discontinuă de speța a doua, deoarece limita la stânga în $x_0$ este infinită. Altfel spus, dreapta aceea verticală care trece prin $x_0$ este asimptotă verticală la stânga. 

Funcția de mai jos este discontinuă de speța a doua la stânga și continuă de speța întâi la dreapta, dar asta înseamnă că punctul $x_0$ este totuși punct de discontinuitate de speța a doua (din moment ce una dintre limitele laterale este infinită). 

În fine, iată și o funcție cu punct de discontinuitate de speța a doua, datorită faptului că limita din stânga nu există (din moment ce apar mai multe ramuri ale graficului în acel punct). 

Sper acum că v-am făcut puțină lumină în suflet în ceea ce privește punctele de discontinuitate.