Calculați $\int(3x-7)^2 dx$.

Un elev care nu știe să folosească funcții compuse, va face eventual efortul de a desface paranteza de sub integrală și de a calcula mai apoi integrala fiecărui termen rezultat. Mai exact, folosindu-se de formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, el va face ceva de genul $$\int(3x-7)^2dx=\int (3x)^2-2\cdot 3x\cdot 7 +7^2 dx.$$ Așadar, $$\int(3x-7)^2dx=\int9x^2-42x+49dx.$$

Apoi, va desface integrala în trei integrale, conform proprietății $\int(f\pm g)=\int f\pm\int g$. Va obține atunci, sărăcuțul, după o groază de lucru, ceva de genul $$\int(3x-7)^2=\int 9x^2 dx-\int 42x dx+\int 49 dx.$$ Și încă tot nu a terminat, desigur. Gândiți-vă că de-acum trebuie să ia în parte fiecare dintre cele trei integrale, pentru a le calcula.

Să calculăm întâi integrala $\int 9x^2 dx$. Dacă ne amintim ușor, ne vom folosi de proprietatea că, atât la derivate, cât și la integrale constanta iese în față. Așadar, $$\int 9x^2 dx=9\int x^2 dx.$$ De-acum, fără acel $9$, integrala este una pe care o regăsim în tabel. Căci știm că $\int x^2 dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}$. Astfel, $$\int 9x^2 dx=9\frac{x^3}{3}=3x^3.$$

Apoi, vom avea că $$\int 42 x dx=42\int x dx=42\frac{x^2}{2}=21x^2.$$

În fine, $$\int 49 dx=49\int 1 dx=49x.$$

Punem acum rezultatele împreună și punem și constanta aceea plictisitoare, deci avem calculul integralei inițiale $$\int(3x-7)^2 dx=3x^3-21x^2+49x+c.$$

După o groază de lucru, elevul nostru a reușit să obțină rezultatul, pentru că a cunoscut formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ și pentru că a mai cunoscut că o constantă iese în față și a mai cunoscut cum se calculează o integrală dintr-o putere a lui $x$.



Dar, haideți să vedem cum ar fi procedat un alt elev, mai sârguincios, care știe să calculeze integrala unei funcții compuse. Privind mai lung la integrală, s-ar fi gândit dacă nu cumva ar putea s-o aducă la forma $$\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}.$$ Observați că aici șmecheria este acel $ceva'$. Dacă sub integrală avem o funcție de $ceva$ și, pe lângă, îl mai avem și pe $ceva'$, atunci suntem cei mai fericiți, căci putem aplica formule de integrare pe care le știm deja din tabelul cu $x$.

Așadar, elevul nostru trebuie să stabilească întâi cine este acel $ceva$, după care să-l calculeze pe $ceva'$. Desigur, $ceva$-ul acestei integrale este, evident, $$ceva=3x-7.$$ Apoi, $$ceva'=(3x-7)'=(3x)'-7'=3x'-7'=3-0=3.$$

Dar, vai! Noi nu-l avem pe $3$ sub integrală și ne trebuie, căci numai atunci putem aplica formula aia frumoasă cu $\int ceva' ceva^2 dx=\frac{ceva^3}{3}$! Cum facem atunci? Păi, ne amintim că $$orice=1\cdot orice=\frac{3}{3}\cdot orice=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot orice.$$ Iată, deci, cum am reușit să îl aducem pe $3$ lângă orice vrem noi. În baza acestei șmecherii, vom avea $$\int(3x-7)^2 dx=\int\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$ Și cum constanta pe care vrem noi o putem scoate în față, mai obținem $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\int 3\cdot(3x-7)^2 dx.$$

Dar acum, ceea ce a rămas sub integrală este tocmai de forma $$\int ceva'\cdot ceva^2 dx,$$ deci îl putem înlocui cu $$\frac{ceva^3}{3}.$$ Astfel, avem în final, $$\int(3x-7)^2 dx=\frac{1}{3}\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{(3x-7)^3}{9}+C,$$ care este o formă mult mai compactă decât cea pe care a găsit-o elevul precedent. Mai mult, această metodă este mult mai ușoară și mult mai generală, pentru că ea este aplicabilă și pentru exponenți mai ciudați. Cum ar fi procedat primul elev dacă în loc de exponentul $2$ al puterii de sub integrală i s-ar fi dat exponentul $30$? Ar fi desfăcut și acea paranteză? Desigur, nu, căci i-ar fi luat toată ora dedicată examenului.

Dar, oare, sunt egale cele două rezultate pe care le-au obținut cei doi elevi? Oare $$\color{blue}{\frac{(3x-7)^3}{9}+C=3x^3-21x^2+49x+c}?$$  Observați că în partea stângă a egalității constanta este $C$ mare, pe când în partea dreaptă avem $c$ mic, căci cele două constante nu sunt obligatoriu egale.

Vrem să verificăm, deci, dacă cele două rezultate sunt egale, ținând seama că în partea dreaptă constanta poate fi alta decât în partea stângă. Pentru asta, trebuie să știm cum ridicăm la puterea a treia un binom. Deci, ne folosim de formula $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Astfel, $$(3x-7)^3=(3x)^3-3\cdot(3x)^2\cdot 7+3\cdot (3x)\cdot 7^2-7^3,$$ mai exact $$(3x-7)^3=27x^3-189 x^2+441x-343.$$ Atunci $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3-189x^2+441x-343}{9}+C.$$ Dar, o fracție de mai mulți termeni poate fi transformată în mai mulți termeni cu fracții, dacă desfacem numărătorul după metoda $$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$ Atunci, $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=\frac{27x^3}{9}-\frac{189x^2}{9}+\frac{441x}{9}-\frac{343}{9}+C.$$ Împărțind cu $9$ ceea ce se poate împărți, obținem $$\frac{(3x-7)^3}{3}+C=3x^3-21x^2+49x-\frac{343}{9}+C.$$

Hmmm... Dar primul elev a obținut parcă altceva: $$3x^3-21x^2+49x+c.$$ Așa este. Deci, coincide doar partea care îl conține pe $x$ și nu coincide constanta.

Dar, cum spuneam, constanta aceea poate fi oricât! Deci, dacă numai constantele diferă, înseamnă că integrala este bine calculată. Căci două primitive distincte ale aceleiași funcții diferă numai printr-o constantă.