Integrala $\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx$ poate fi calculată „cu $u$” sau „prin părți”.
Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$
Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.
Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$
Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$
De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$
Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$
Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$
Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$
Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$
Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.
Cu $u$
Pentru a o calcula „cu $u$” (deci, cu cea mai elegantă și eficientă metodă în cazul acestei integrale) găsim, bâjbâind, o funcție de $x$ aflată sub integrală, funcție pe care să o notăm prescurtat cu „$u$”.Dacă suntem norocoși sau experimentați, notăm din prima $$u=\ln x.$$ Automat, calculăm și $$u'=\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}.$$ Toate acestea ne vor permite acum să constatăm că integrala noastră poate fi scrisă mai condensat, cu litera $u$, astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u'\cdot u^2 dx=\int u^2\cdot u' dx.$$
Apoi, ca să scăpăm chiar și de ultimul $x$ de sub integrală, ne folosim de legea de schimbare a diferențialei care ne spune că $u'dx$ poate fi înlocuit simplu cu $du$. Atunci, integrala noastră devine și mai elegantă $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du.$$ De aici încolo, calculul e floare la ureche. Ne amintim cât este $\int x^2 dx$ și punem același rezultat pentru orice altă literă pe care am dori s-o folosim în locul lui $x$, de data asta litera $u$.
Și cum $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}+C,$$ înseamnă că și $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C.$$
Acum, ne amintim că $u$-ul nostru este, de fapt, $\ln x$. Deci, avem un lanț frumos de egalități $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int u^2 du=\frac{u^3}{3}+C=\color{red}{\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$
Prin părți
Dar să vedem „prin părți” ce se poate face. Ca să o putem calcula prin părți, trebuie să aducem integrala noastră la ceva de genul $\int f\cdot g'$ sau $\int f'\cdot g$. Desigur, elevul care știe că $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$, va înlocui fracția cu derivata logaritmului, deci va scrie integrala astfel: $$\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx.$$De-acum, integrala are o formă cerută de formula de integrare prin părți, adică este de forma $\int f'g$. Iar noi știm că avem $$\int f'g=fg-\int fg'.$$ Pe această linie, integrala noastră devine $$I=\int\left(\ln x\right)'\ln^2 x dx=\ln x\cdot\ln^2 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx,$$ adică, $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx.$$
Mai trebuie să vedem cât este $$\left(\ln^2 x\right)',$$ deci cât este $$\left(ceva^2\right)'.$$ Pentru asta trebuie să vă amintiți dintr-a XI-a când ați învățat despre derivata funcției compuse , că avem $$\left(ceva^2\right)'=2\cdot ceva\cdot ceva'.$$
Și cum $ceva$-ul nostru este $\ln x$, înseamnă că $$\left(\ln^2 x\right)'=2\ln x\cdot\left(\ln x\right)'=2\ln x\frac{1}{x}.$$
Punând rezultatele laolaltă, avem că $$I=ln^3 x-\int\ln x\cdot\left(\ln^2 x\right)'dx=ln^3 x-\int\ln x\cdot 2\ln x\frac{1}{x}dx.$$ Haideți să scoatem constanta în fața integralei și să aranjăm puțin factorii încât să observăm ceva: $$I=ln^3 x-2\int\ln x\cdot\ln x\frac{1}{x}dx=ln^3 x-2\int\frac{1}{x}\ln^2 x dx.$$
Dar acum observați?! După $2$ se află, din nou, tocmai integrala pe care trebuia s-o calculăm! Adică, am obținut $$I=\ln^3 x-2I.$$ De-acum, pentru a-l găsi pe $I$ procedăm ca și pentru a rezolva o ecuație cu $I$, deci ducem termenul $-2I$ din dreapta în stânga egalității (cu semn schimbat) și vom avea $$I+2I=\ln^3 x,$$ adică $$3I=\ln^3 x,$$ de unde rezultă din nou că $$\color{red}{I=\frac{\ln^3 x}{3}+C}.$$
Așadar, mai sus aveți două metode pentru a calcula integrala din enunț.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.