Ecuații cu modul

Modulul este o ciudățenie care îi supără pe mulți elevi. Ce rost au barele acelea verticale ce apar în dreptul modulului? Sunt introduse doar pentru a ne complica viața?

Să presupunem că primiți o problemă de genul:

Să se rezolve ecuatia $$|2x-3|=5$$.

De ce au mai pus barele modulului? Nu puteau să ne dea aceeași ecuație fără barele-acelea verticale? Ecuația fără bare era mult mai simplu de rezolvat. Ce modificări aduc în plus barele? Cu ce se complică problema la apariția barelor? 

Ecuațiile cu modul sunt de două ori mai complicate decât ecuațiile fără modul. Atât. Doar de două ori. Altfel spus, o ecuație cu modul devine cât două ecuații fără modul. Așadar, dacă primiți spre rezolvare o ecuație cu modul, primiți de fapt spre rezolvare două ecuații fără modul. Și astfel, totul devine mai simplu.

Să concretizăm. Să vedem cum facem din ecuația cu modul de mai sus tocmai două ecuații fără modul.

Prima ecuație fără modul este cea mai simplă. Pur și simplu, copiați ecuația, dar fără barele modulului. Așadar, rezolvăm ecuația $$2x-3=5.$$ Îl aruncăm pe $-3$ în dreapta egalității și obținem $$2x=5+3=8.$$ Apoi, scăpăm cumva și de $2$-ul acela din fața lui $x$, aruncându-l și pe el în dreapta „cu semn schimbat”, dar de data asta „cu operație schimbată”, adică, înmulțirea dintre $2$ și $x$ care există în termenul $2x$ va deveni împărțire. Așadar, $$x=8:2$$ sau, mai elegant, $$x=\frac{8}{2}=4.$$ Iată, deci, rezolvarea primei ecuații fără modul. Această primă ecuație ne-a dus la prima soluție, $x_1=4$.

Dar, ecuațiile cu un modul au, de regulă, două soluții. A doua soluție va fi dată de a doua ecuație fără modul. Recunosc, această a doua ecuație este un pic, dar numai un pic, mai ciudată decât prima, mai nenaturală. Ea ne obligă să punem undeva (sau să ne gândim la) semnul minus. 

Unii elevi sar greșit la concluzia că, dacă prima soluție a fost $x_1=4$, atunci, știind că undeva trebuie să apară semnul minus, ar însemna că automat cea de-a doua soluție ar fi $x_2=-4$. Dar, din păcate, nu este așa de simplu. Nu putem conclude că dacă prima soluție are o anumită valoare, atunci cea de-a doua soluție ar avea aceeași valoare dar cu semn schimbat. Nu! Minusul apare altundeva!

Iată cum arată cea de-a doua ecuație fără modul, cea în care trebuie să ținem seama de semnul minus: $$2x-3={\large{\color{red}{-}}}5.$$ Desigur, nici această ecuație simplă de gradul întâi nu ne face probleme de rezolvare acu, dar rezolvarea ei ne va arăta că cea de-a doua soluție obținută nu are neapărat semnul opus primei soluții.

Avem, deci, după aruncarea lui $-3$ în dreapta egalității, $$2x=-5+3=-2.$$ Iar după aruncarea lui $2$ în dreapta (cu împărțire, nu cu scădere!), vom avea $$x=\frac{-2}{2}=-1.$$ Iată că a doua soluție este $x_2=-1$ și nicidecum $-4$!

Facem o probă? Haideți să facem și o probă. În locul lui $x$ din ecuația cu modul pe care am primit-o spre rezolvare vom pune pe rând cele două soluții ca să vedem dacă obținem, într-adevăr, rezultatul $5$, cât se află în partea dreaptă a egalității. Deci $$|2\cdot 4-3|=|8-3|=|5|=5.$$ Așadar, prima soluție este verificată. Să vedem și a doua. În locul lui $x$ punem acum $-1$. Obținem $$|2\cdot(-1)-3|=|-2-3|=|-5|=5.$$ Deci, din nou, obținem verificarea ecuației.

Așadar, nu uitați, o ecuație cu un modul nu diferă foarte mult de ecuațiile fără modul, ci este echivalentă cu două ecuații fără modul, iar într-una dintre ele apare implicat semnul minus. Aceasta se întâmplă deoarece valoarea unui modul nu se schimbă dacă schimbăm semnul conținutului pe care îl are acel modul.