Fracție ireductibilă cu numitorul 12

Începem o nouă serie articole în care vom rezolva politestul-fulger de clasa a douăsprezecea apărut în 1 octombrie.

Astăzi, prima problemă ne cere să dăm un exemplu de fracție ireductibilă cu numitorul 12. Elevul de clasa a cincea (și, implicit, cel de clasa a douăsprezecea) trebuie să știe că o fracție este ireductibilă dacă nu se mai poate simplifica. Mai departe, aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul sunt relativ prime, adică au cel mai mare divizor comun egal cu unitatea.

Numerele relativ prime nu trebuie să fie neapărat prime. Noțiunea de „relativ” se referă la o comparație între cele două numere, adică unul trebuie să fie prim față de celălalt. De exemplu, numerele 15 și 8, deși nu sunt prime, totuși sunt relativ prime pentru că nu există niciun număr cu care să se poată împărți exact amândouă (cu excepția lui 1, desigur, care este irelevant căci nu modifică nimic).

Așadar, ca să putem crea o fracție ireductibilă cu numitorul 12 este necesar să găsim un număr relativ prim cu 12 pe care să-l așezăm la numărătorul fracției. Desigur că orice număr prim va fi relativ prim cu orice alt număr care nu-l va avea ca divizor pe acel număr prim. Aceasta înseamnă că, de exemplu, orice număr prim mai mare decât 12 ar putea rezolva problema noastră. Mai exact, oricare dintre fracțiile: 

$$\color{red}{\frac{13}{12}},\,\frac{17}{12},\,\frac{19}{12},\,\frac{23}{12},\,\frac{29}{12},\,\dots$$ 

va fi o fracție care duce la rezolvarea problemei.

Da, bineînțeles, cum spunea, nu doar numerele prime mai mari decât 12 pentru numărător sunt soluția. Alte exemple, fără numere prime, pot fi:

$$\frac{25}{12},\,\frac{49}{12},\,\frac{121}{12},\,\frac{125}{12},\,\dots$$

Evident că elevul din clasele terminale ale liceului ar fi bine să cunoască aceste detalii, pentru a putea rezolva problemele mult mai complicate apărute de-a lungul anilor.