Faceți căutări pe acest blog

vineri, 22 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 


Acest număr asociat feței doi este un număr teoretic, obținut prin calcule, dar el poate fi găsit și practic. Aruncăm pe masă un zar de o sută de ori și numărăm de câte ori a apărut fața doi. Să zicem că fața doi a apărut de 18 ori din cele o sută de aruncări. Atunci avem dreptul să spunem că probabilitatea feței doi este aproximativ egală cu $\frac{18}{100}$. Dar, bineînțeles, acest număr nu este precis. Pentru că, dacă în altă zi vom face tot o sută de aruncări, s-ar putea ca fața cu numărul doi să apară de 19 ori, nu de 18. 

Așadar, prin metode practice nu vom putea avea pretenția să găsim un număr absolut egal cu probabilitatea asociată feței doi. Căci probabilitatea este și va rămâne un număr teoretic asociat feței doi. Cu toate acestea, avem două metode practice de a ne apropia cât mai mult de probabilitatea asociată feței cu numărul doi. 

O metodă ar fi să facem nu doar o sută de aruncări, ci o mie sau chiar un milion, deci un număr cât mai mare de aruncări. Cu cât numărul de aruncări va fi mai mare, cu atât putem fi mai siguri că ne-am apropiat de probabilitatea feței doi. 

O altă metodă ar fi să facem tot câte o sută de aruncări, dar nu doar într-o zi sau în două zile, ci într-o săptămână întreagă sau chiar într-o lună sau chiar într-un an. Și apoi să facem o medie a valorilor pe care le-am obținut. Cu cât facem mai multe seturi de câte o sută de aruncări, cu atât avem șanse mai mari să obținem o medie mai apropiată de numărul $0,1666$. 

Dar, atenție, metoda practică ne poate ajuta numai dacă zarul nu are cumva vreo defecțiune, vreun colț știrbit care să favorizeze mai mult una dintre fețele zarului. Altfel e pierdere de vreme. Eventual, dacă ne interesează în ce măsură este defect zarul, atunci studiem care dintre fețele sale apar mai des, acesta fiind un indiciu pentru defecțiunea zarului.

Deci, după cum vedeți, practic este foarte greu să obținem probabilitatea feței doi. Cine are răbdare să facă sute, mii sau milioane de aruncări ale unui zar, care mai poate avea și imperfecțiuni de construcție? Tot mai bine este s-o obținem teoretic. Și ăsta este rolul teoriei probabilităților, să ne scutească de aruncări numeroase de zaruri și să ne spună prin calcul cam de câte ori ar trebui să apară fața cu numărul doi din o sută de aruncări, la un zar perfect, cu șase fețe, ca în exemplul nostru. 

Așadar, cum am obținut teoretic faptul că probabilitatea feței doi este $\frac{1} {6} $ ? De ce nu ar fi fost de exemplu $\frac{2}{5}$? Cum se obține teoretic o probabilitate? 

Spuneam la început că probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceea ce ne interesează. Deci, cât de des se întâmplă să apară fața doi? Răspunsul se bazează pe faptul că toate fețele unui zar se consideră a fi egal probabile. Adică, toate cele șase fețe sunt la fel de îndreptățite să apară, precum este și fața doi. Înseamnă că este firesc să asociem fiecărei fețe același număr, aceeași probabilitate. Deci, este firesc ca din totalul probabilității să dăm o parte egală fiecărei fețe. Și cum sunt șase fețe, înseamnă că fiecărei fețe îi vom da o șesime din probabilitatea totală.

Dar care este probabilitatea totală? Probabilitatea totală este, în cazul zarului, cea maximă, adică este egală cu unu. De aceea, pentru a găsi probabilitatea unei fețe, vom distribui, vom împărți în mod egal probabilitatea totală la fiecare față, deci fiecare față va primi probabilitatea egală cu $\frac{1}{6}$.

Astfel, se mai spune că probabilitatea este o fracție, dată de „numărul cazurilor favorabile supra numărul cazurilor posibile”. Pentru un zar cu șase fețe există șase cazuri posibile și un singur caz favorabil (pentru o față).



Terminând acum cu această introducere lungă, putem să abordăm problema noastră. Pentru a găsi probabilitatea cerută, trebuie să găsim câte cazuri favorabile sunt și câte cazuri posibile. Ni se cere probabilitatea de a obține submulțimi cu cel mult două elemente. Asta înseamnă că trebuie să numărăm și mulțimile care au un singur element, ba chiar și mulțimile care nu au niciun element.

Așadar, numărătorul fracției care ne va da probabilitatea este dat de numărul submulțimilor cu zero, cu unu și cu două elemente. Pe când numitorul este dat de toate submulțimile posibile pe care le putem construi cu elemente din mulțimea $A$. Întotdeauna numitorul (numărul de jos) trebuie să fie mai mare decât numărătorul sau, eventual, cel puțin egal; niciodată invers.

Atunci, elevul trebuie să-și amintească despre numărarea submulțimilor. Știm că pentru submulțimi nu contează ordinea în care punem elementele, iar atunci când nu contează ordinea elementelor, ne gândim la combinări. De exemplu, există $C_6^2$ submulțimi cu câte două elemente luate dintr-o mulțime cu șase elemente. Iată un asemenea exemplu de submulțime: $\{\sqrt 2,\,\sqrt 5\}$. Și câte asemenea submulțimi putem forma? Cât este combinări de șase luate câte doi? 

Într-un articol de luna trecută vă spuneam mai multe despre combinări. Acolo ați văzut cum se calculează combinările și ați devenit în stare să calculați combinări de șase luate câte doi. Avem: $$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15.$$

Mai trebuie să găsim câte submulțimi cu un singur element sunt, adică $$C_6^1=6$$ și mai trebuie să găsim câte submulțimi cu niciun element sunt. Desigur, doar mulțimea vidă nu are niciun element, așa încât $$C_6^0=1.$$

Adunând cele trei numere, găsim ce punem la numărătorul fracției ce ne va da probabilitatea: $$1+6+15=22.$$

Mai trebuie să ne gândim la numitor. Tot în articolul la care făceam referire găsiți câte submulțimi posibile putem face cu elementele unei mulțimi date. Spuneam acolo că dată adunăm toate combinările, obținem o putere a lui doi. Deci, numărul total al submulțimilor ce se pot construi cu elementele mulțimii $A$ date (care elemente sunt în număr de șase) este $2^6=64$.

Prin urmare, probabilitatea cerută este $$\color{red}{P=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}}.$$