Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”


Zis și făcut și se pune pe treabă. Ei bine, noi vom medita ceva mai mult la enunțul problemei și vom sublinia că trebuie să arătăm monotonia PRIMITIVEI, nu a funcției date. Și, într-adevăr, elevul știe el ce știe, știe că trebuie să concepem (eventual mental), un tabel care ne va spune ce săgeți punem în dreptul primitivei. Doar că nici măcar nu trebuie construit efectiv tabelul, din moment ce el nu este complicat, căci primitiva este peste tot crescătoare, deci nu apar valori ale lui $x$ unde să se schimbe ceva.

Așadar, bazându-ne pe legătura minunată dintre monotonia unei funcții și semnul derivatei sale, noi trebuie să arătăm că tabelul imaginar corect conține doar
$$\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty &&\infty\\
\hline
F^\prime & + & +& +\\
\hline
F&\nearrow&\nearrow&\nearrow
\end{array}$$
Observați că în tabel nu apare funcția $f$, ci funcția $F$, căci așa notăm primitiva unei funcții.

Ok. Cum arătăm că tabelul este corect? Ce ne trebuie în tabel? Desigur, numai $F^\prime$, căci este suficient să determinăm dacă semnul lui $F^\prime$ este $+$ peste tot (iar din această informație noi putem trage apoi concluzia directă că primitiva este crescătoare.). Dar cine este $F^\prime$? Aceasta este cea mai importantă întrebare aici! Așadar, cine este derivata primitivei?

Spuneam într-un articol precedent că derivata cu integrala „se simplifică”. Mai exact, dacă îmi trebuie derivata primitivei, nu are rost să muncesc în plus pentru a calcula întâi primitiva, după care să derivez înapoi ca să văd ce obțin. Ci, pur și simplu, mă pot folosi de faptul că $(\int f)^\prime=f$.

Și cum $\int f=F$, avem că $F^\prime=f$. Prin urmare, tabelul nostru poate fi scris, de fapt, ca
$$\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty &&\infty\\
\hline
f & + & +& +\\
\hline
F&\nearrow&\nearrow&\nearrow
\end{array}$$
Așadar, acum înțelegem că noi trebuie să arătăm doar că $f$ are semnul $+$ peste tot. Dar acest lucru este floare la ureche. Funcția noastră este $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$, iar semnul acestei funcții este ușor de determinat. Vedem că numărătorul este $1$, deci este ceva pozitiv. Apoi, vedem că numitorul este un radical de ordin par din ceva pozitiv, deci este și el pozitiv. Așadar, toată fracția este $\frac{+}{+}$, adică este $+$. Și cu asta basta. Am gătat.

Ce ziceți, facem un mic rezumat? Vreau să înțelegeți ce va dori examinatorul de la voi, de fapt, cu această problemă. Ce credeți, va dori să arătați banalitatea că funcția $f$ este pozitivă? Nici vorbă! El va dori să vadă că ați înțeles ce se cere și că nu vă veți apuca să vă chinuiți să calculați primitiva acestei funcții. Chiar dacă enunțul problemei ne cere o proprietate a primitivei și chiar dacă ați putea să calculați ușor primitiva (din moment ce o regăsiți în tabel), nu este cazul să o calculați.