Numere întregi

În materialul anterior am povestit despre numerele naturale și am arătat că numerele naturale sunt cele precum 0, 1, 2, 3, 4, 5 și așa mai departe. Aici vom povesti despre numerele întregi. Povestea numerelor întregi nu este tot atât de frumoasă precum cea a numerelor naturale, dar important este că poate fi înțeleasă.

După descoperirea numerelor naturale, omul a început să facă operații de adunare și scădere cu asemenea numere. De exemplu, adunând numărul 3 cu numărul 4 se obține numărul 7. Acest lucru se poate scrie simbolic astfel: 3+4=7. Numerele 3 și 4 care apar aici ca fiind adunate se numesc termeni, iar numărul 7 se numește sumă.

Apoi, făcând operația inversă adunării, adică scăzând din numărul 7 numărul 4 obținem numărul 3. Simbolic, 7-4=3. Numărul 7 se numește descăzut, numărul 4 se numește scăzător, iar numărul 3 se numește diferență.

Pornind de la aceste exemple, să facem câteva observații importante care vă vor ajuta să înțelegeți numerele întregi. Adunând două numere naturale obținem un număr natural mai mare decât oricare dintre cele două numere adunate. În cazul de mai sus, am adunat două numere mici, adică 3 și 4 și am obținut un număr mai mare și decât 3 și decât 4, adică 7. De asemenea, scăzând dintr-un număr natural un alt număr natural, obținem un număr mai mic decât descăzutul. Dacă dintr-un număr natural mai mare (așa cum e 7) scădem numărul natural 4, obținem un număr mai mic decât 7 (adică, 3).

Dar oare putem scădea din 7 orice număr natural, oricât de mare? Păi, să vedem. Putem face 7-5=2. Apoi, mai putem face 7-6=1. Și chiar putem face 7-7=0. Dar ce se întâmplă mai departe? Ce se întâmplă dacă fac, de exemplu, 7-8? Se poate face o asemenea scădere? Păi, în mulțimea numerelor naturale, nu, nu se poate face o asemenea scădere, căci rezultatul obținut nu mai poate fi încadrat în mulțimea numerelor naturale.

Ei bine, oamenii nu s-au mulțumit doar să constate această problemă, ci au încercat să-i găsească o soluție. Au încercat să găsească o metodă prin care să poată scădea oricare două numere naturale, fără să mai poarte grija de a scădea doar dintr-un număr mare un număr mai mic. Soluția pe care au găsit-o a fost numărul întreg. Orice două numere naturale care se scad între ele vor da ca rezultat un număr întreg, indiferent cât de mare este unul dintre cele două numere față de celălalt. Astfel, numărul întreg apare ca fiind o generalizare a numărului natural. Cu numărul întreg oamenii sunt liniștiți că pot scădea oricare numere naturale.

Să vedem acum, totuși, în ce constă aceste numere întregi. Cât este de fapt 7-8? Răspunsul rapid este numărul -1 (se citește „minus unu”). Observați un fapt interesant: rezultatul scăderii 7-8=-1 este aproape la fel ca și rezultatul scăderii 8-7=1, doar că am pus în fața numărului 1 semnul ciudat „-”, obținând -1. Altfel spus, numerele întregi sunt scrise tot cu ajutorul numerelor naturale, doar că unele dintre ele mai au și semnul „-” în fața lor.

De ce am spus „unele dintre ele”? Pentru că nu doar numerele naturale cu semnul „-” în față sunt numere întregi, ci chiar și numerele naturale fără semnul „-” în față sunt și ele numere întregi. Putem spune astfel că mulțimea numerelor întregi (care se notează cu ℤ) este „mai mare” decât mulțimea numerelor naturale. Am pus în ghilimele „mai mare” pentru că este impropriu spus așa. Mai degrabă am putea spune că mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi. Asta mai înseamnă că orice număr natural este și număr întreg, dar nu orice număr întreg este și număr natural. Adică, mulțimea numerelor întregi conține atât numerele fără „minus”, cât și numerele cu „minus”.

Numerele întregi fără „minus” se numesc numere întregi pozitive, iar numerele întregi cu „minus” se numesc numere întregi negative. Atunci când subînțelegem că este vorba despre numere întregi, nici măcar nu ne mai deranjăm să folosim adjectivul „întregi”, ci spunem simplu „numere pozitive”, respectiv, „numere negative”.


Acestea fiind spuse, putem observa următoarele: orice număr întreg are două componente fundamentale: semn și valoare. De exemplu, numărul întreg negativ -7 are semnul minus și valoarea 7; iar numărul întreg pozitiv 15 are semnul plus și valoarea 15. Cu această ocazie constatăm încă două lucruri importante: valoarea unui număr întreg este întotdeauna un număr natural, iar semnul unui număr întreg pozitiv (deci semnul „+”) nici nu mai are rost să-l mai scriem atunci când nu există pericol de confuzie, căci un număr întreg pozitiv este tocmai un număr natural. Desigur, înțelegem, de asemenea, că există doar două semne posibile pentru numerele întregi, semnul minus și semnul plus.

Deși este mai greu de înțeles pentru începători, în loc de cuvântul „valoare” profesorii preferă (și așa este normal) să folosească cuvântul „modul” (cu accentul pus pe litera „u”). Este ciudată această preferință a profesorilor și este dezagreabilă pentru începători mai ales pentru faptul că există deja în literatură cuvântul „modul” (cu accentul pe litera „o”) care are altă semnificație. Această problemă îi pune în dificultate pe începători și îi determină să aibă o oarecare repulsie față de cuvântul „modul” (cu accentul pe litera „u”). Eu sper că, după ce vor conștientiza această problemă, începătorii nu vor mai avea probleme cu acceptarea cuvântului modern din matematică „modul” (cu accentul pe litera „u”) și îl vor folosi cum se cuvine.

Am putea să dăm o interpretare practică interesantă numerelor întregi. Imaginați-vă un portofel doldora de bani, să zicem, unul care conține 1000 de lei. Dacă un prieten bun ne mai dă 100 de lei, atunci în potofelul nostru vom avea 1100 de lei și putem spune că în portofel au intrat numere întregi pozitive (au intrat 100 de lei). Dimpotrivă, dacă din portofelul nostru cu 1000 de lei îi dăm noi prietenului 200 de lei, vom rămâne doar cu 800 de lei și putem spune că în portofel au intrat numere întregi negative (au intrat -200 de lei). Ba, mai mult, există și varianta inversă absolut echivalentă în care în loc de „intrare” să folosim „ieșire”. Mai exact, putem spune că în primul caz au ieșit numere întregi negative (au ieșit -100 de lei), iar în al doilea caz au ieșit numere întregi pozitive (au ieșit 200 de lei). Această flexibilitate în exprimare denotă încă o dată avantajul introducerii numerelor întregi în matematică.

În final aș mai dori să fac o observație legată de numerele întregi. Orice număr întreg poate fi scris ca o pereche de numere naturale. De exemplu, numărul întreg -2 poate fi scris ca fiind perechea (6 ; 8), deoarece 6-8=-2. Desigur, există perechi echivalente cu care putem scrie numărul -2, căci putem avea și 11-13=-2. În general, putem obține dintr-o pereche o altă pereche echivalentă prin simpla adunare sau scădere a numerelor din pereche cu unul și același număr. Cei mai avansați în matematică știu că perechile echivalente formează clase de echivalență pentru care numerele întregi constituie reprezentanți ai acestor clase de echivalență. Asemenea perechi vom putea întâlni și când vom vorbi despre numerele raționale sau despre numerele complexe și acesta este motivul pentru care vi le-am adus în atenție aici.

Într-un articol viitor va trebui să discutăm amănunțit despre modul în care se fac operații cu numere întregi, deoarece mulți elevi au mari dificultăți în a înțelege cum se fac asemenea operații.

Numărul natural

Numerele naturale stau la baza matematicii. Cu numerele naturale începe totul. Dacă putem pune ceva sub formă de numere naturale, atunci putem folosi matematica, deci putem fi preciși, putem să beneficiem de rezultatele numeroase obținute de omenire în domeniul numerelor.

Povestea numerelor naturale

Imaginați-vă o perioadă din timpuri străvechi în care omul era crescător de animale, de oi, de capre, porci, găini și nu se cunoșteau numerele. În asemenea vremuri, un cioban cu multe oi avea o mare responsabilitate pe cap și dorea să știe cât mai precis care este situația oilor sale. Se trezea dimineața și își inspecta oile ca să vadă dacă a murit vreuna sau dacă s-au născut altele. Pentru aceasta trebuia să compare mental situația din acea dimineață cu situația din ziua precedentă. Făcea totul din cap și se străduia să țină minte cât mai multe detalii. Dacă noaptea venea vreun hoț și îi fura din oi, el trebuia să observe numărul oilor lipsă. Și făcea totul cu imaginația. Dacă stătea bine cu memoria vizuală, era fericit.

Dar, la un moment dat, un cioban anonim, care nu prea avea memorie vizuală, a avut o idee, născută din necesitate. S-a gândit că ar fi mai ușor să asocieze fiecărei oi câte o pietricică și așa putea să afle câte oi are doar prin contorizarea unui săculeț mic cu pietricele, fără să mai fie nevoit să facă munca titanică de a aranja oile în ordine pe lângă gard ca să le poată inspecta liniștit. Cu săculețul plin de pietricele putea să admire în fiecare seară comoara sa și putea adăuga pietricele când se nășteau oi sau putea arunca pietricele atunci când vreuna dintre oi se prăpădea. Astfel, avea o evidență mai clară a oilor sale. Putea să-i arate vecinului în cortul său câte oi are și putea face comerț fără să care cu el mereu întreaga turmă până la locul dorit.

Observați că pentru a evidenția numărul oilor erau suficiente pietricelele de orice tip, adică nu conta că o pietricică era ceva mai mare decât alta sau că avea o altă culoare decât alta și nu conta dacă o oaie avea mai multă blană sau dacă era mai grasă decât alta. Important era numărul acestora. Așa a apărut noțiunea de abstracție. Ciobanul făcea abstracție de toate celelalte proprietăți irelevante ale oilor și ale pietricelelor, concentrându-se doar la ceva esențial, ceva pe care azi îl numim număr natural.

Descoperirea ciobanului anonim a dus și la nașterea noțiunii de calcul, adică la posibilitatea de a opera mai ușor cu pietricele decât cu oi. De altfel, pietricelele chiar așa se mai și numesc, „calculi”. Și tocmai de aceea, de aici provine noțiunea de calcul.

Mai târziu, în timp, ciobanii au devenit și mai isteți. Și-au dat seama că nu merită să poarte cu ei nici măcar săculețul cu pietricele, care devenea din ce în ce mai greu pentru ciobanii cu multe oi. Așa că ei s-au gândit că ar fi mai ușor să scrijelească linii pe o tăbliță de lemn ușoară. Prin aceasta, abstracția oilor a devenit și mai adâncă, ducând la înlocuirea mentală a obiectelor cu semnele. Au apărut astfel primele semne, semne care au dus mai târziu la inventarea scrisului. Scrisul este cea mai importantă descoperire timpurie a umanității, chiar mai importantă decât descoperirea focului, căci scrisul face distincția netă între om și animal. Scrisul a permis transmiterea chiar și după moarte a cunoștințelor pe care le-a obținut individul prin experiența sa de o viață, ducând la acumularea lor și, implicit, la formarea civilizației tehnologice.

Dar aceste scrijelituri primitive s-au modernizat și mai mult în timp. Oamenii au început să devină economi chiar și cu liniuțele trase pe tăblițe! Și bine au făcut. S-au săturat să traseze zeci sau chiar sute de liniuțe pe tăblițele de lemn, în funcție de câte oi aveau la un moment dat și au inventat semne care să înlocuiască singure mai multe de linii, astfel încât să deseneze un singur semn în loc să traseze sute de liniuțe.

Și, totuși, atunci ce este numărul natural? Este el punguța cu pietre sau este tăblița de lemn cu liniuțe? Sau este cumva semnul care grupează sutele de liniuțe? Mai exact, ce este numărul 5? Este el punguța cu 5 pietre? Sau tăblița cu 5 liniuțe? Sau buchetul cu 5 flori? Nicidecum. Numărul 5 este de fapt ceva și mai special: este abstracția comună tuturor punguțelor, tăblițelor și buchetelor care conțin 5 elemente.

Așadar, ciobanilor le datorăm multe descoperiri, dar mai ales descoperirea numerelor naturale, a numerelor 1, 2, 3, 4, 5, ... și așa mai departe. Iar data viitoare când mai întâlniți un ciobănaș, salutați-l respectuos și gândiți-vă o clipă cât de isteț ar putea fi acel om.

Numărul zero.

Hopa, se pare că am uitat de numărul 0 (zero). Am uitat de el? Sau nu este el un număr natural? Nici vorbă. Numărul 0 este număr natural. Doar că intenționat l-am lăsat mai la urmă, deoarece el așa a și fost descoperit, mult mai târziu, pentru că este mult mai greu de înțeles. El a fost descoperit printr-o altă generalizare atunci când oamenii au înțeles că și situația în care punguța cu pietre este goală poate fi considerată ca o punguță care conține un număr. Este mare lucru să faci acest salt mental! Este mare lucru să spui că o punguță care nu conține pietre, de fapt conține 0 pietre.

Concluzii

Desigur, relatarea despre ciobănași este doar o povestioară menită să vă pună adânc pe gânduri în legătură cu numerele naturale. Nimeni n-a fost lângă acei ciobănași isteți ca să ne spună cum au făcut ei descoperirile-astea, așa că noi doar ne-am imaginat cam cum ar fi decurs lucrurile. Ceea ce este cert, însă, este că numerele naturale sunt la baza matematicii și trebuie să vi le însușiți încă de la primele contacte cu matematica. Trebuie să știți că numerele naturale sunt cele care încep de la 0, continuă cu 1, cu 2, cu 3 și așa mai departe până la infinit. Trebuie să nu le confundați cu alte tipuri de numere despre care veți afla amănunte mai târziu (numere întregi, numere raționale și altele). Mulțimea asta de numere naturale care îl conține și pe 0 se notează într-un mod natural cu ℕ. Și pentru că avem nevoie des să ne referim la mulțimea de numere naturale fără 0, folosim și notația ℕ*, notație care înseamnă că nu-l includem și pe 0 în calculele noastre, de exemplu, atunci când trebuie să ne referim la numitorul unei fracții (care nu poate fi nul).

Problemele grele nu sunt pentru începători

Problemele grele nu sunt pentru începători

Acest lucru trebuie să fie clar în mintea voastră: problemele grele nu sunt pentru începători. Problemele grele sunt pentru olimpici. Acceptați diferența! Nu vă chinuiți cu iluzii. Înțelegeți că începătorii nu pot fi olimpici. Și reciproc, olimpicii nu sunt începători.

Dar care o fi deosebirea dintre problemele grele și cele ușoare sau dintre începători și olimpici? Problemele pot fi de trei categorii, în ordinea complexității:

-1). Probleme care se rezolvă cu reguli.

-2). Probleme care se rezolvă cu reguli și cu artificii.

-3). Probleme care se rezolvă numai cu artificii.

Începătorii diferă de olimpici prin faptul că ei cunosc foarte puține reguli, pe când olimpicii nu doar că cunosc aproape toate regulile, ci sunt în stare să facă și tot felul de artificii, de șmecherii, pentru a rezolva o problemă. Olimpicii sunt pasionați de matematică. Ei au investit mult timp pentru a învăța reguli și pentru a rezolva probleme din ce în ce mai complexe. Dacă ești pasionat de un domeniu, atunci vei putea rezolva probleme complexe în acel domeniu, iar dacă ești începător, va trebui să te mulțumești cu probleme simple, probleme care se rezolvă cu reguli. Desigur, dacă ești începător nu înseamnă că ești prost, ci înseamnă doar că nu ai investit timp în acel domeniu, ci în alte domenii, în care ești pasionat. Dacă îți place mult istoria, vei investi mai mult timp în istorie și vei deveni foarte bun la istorie, în detrimentul matematicii. Și reciproc, dacă ești bun la mate, s-ar putea să fii pe corigență la istorie. În plus, poți fi azi începător în matematică, iar mâine să ajungi un mare olimpic. Deci, nu te considera prost!

Descoperirea regulilor în matematică (și în orice domeniu) este o mare realizare a omenirii și este o etapă finală a luptei prin care marii matematicieni reușesc să facă sinteze, să grupeze artificiile în reguli. Voi, începătorii, bucurați-vă de existența regulilor și gândiți-vă că acestea sunt rezultatul anilor de cercetări făcute de marii matematicieni ai lumii. Învățând reguli, primiți scutirea de efortul prin care au trecut alții înaintea voastră, când încă nu se cunoșteau regulile respective. Regulile sunt sinteze, mari sinteze ale unor artificii, ale unor șmecherii. Matematicienii care au descoperit regulile au observat ceva comun la o mulțime de artificii și au publicat observațiile lor sub o formă pe înțelesul nostru ca să ne scutească de efortul de a mai face artificii.

Așadar, învățați cât mai multe reguli!

Dragi elevi!

În calitatea mea de absolvent al Facultății de Matematică la Universitatea de Vest din Timișoara, vin în întâmpinarea voastră, punându-mă la dispoziție pentru a rezolva împreună probleme de matematică pe înțelesul vostru, cu lux de amănunte.

Vă puteți face o primă impresie despre mine survolând celălalt blog al meu (în care postez mai mult cercetări personale pe care le fac în Fizică), forumul pentru cercetare pe care l-am creat în 2008, pagina mea de Facebook pe care activez foarte des, ori cea de pe Google+, precum și Wiki-ul meu personal de la Zoho unde puteți găsi niște definiții mai exotice ale unor noțiuni cu care operez eu. Desigur, nu prea veți găsi acolo multă matematică, așa cum veți găsi pe acest blog în viitor, dar vă puteți face o idee despre limbajul amănunțit și clar pe care îl voi avea în relația cu voi.

Am înființat acest blog pentru că i-am simțit lipsa. Simt că este nevoie de un sait în care autorul să rezolve probleme de matematică pe înțelesul începătorilor sau să le povestească acestora ce știe el despre matematică. Și simt că eu sunt bun la a explica ceea ce am învățat. Iar ceea ce eu nu știu voi învăța împreună cu voi, fiind pregătit și dispus să învăț în continuare. Căci, desigur, nu știu o mulțime de lucruri în matematică, dar important este că îmi place să învăț. Oricum, matematica este foarte vastă și niciun om de pe planeta asta nu știe tot ce se poate ști în matematică. Tocmai de aceea trebuie să căpătați curaj și să porniți cu gândul că și voi puteți înțelege matematica, măcar lucruri fundamentale din matematică, de care veți avea nevoie la examene.

Așadar, puteți începe cu încredere să mă întrebați lucruri (simple) de matematică pe care nu le-ați înțeles voi sau să-mi spuneți ce probleme de matematică doriți să vă rezolv, iar eu voi face efortul ca, în măsura posibilităților mele, să vi le explic foarte detaliat, pe înțelesul vostru. În mod sigur, făcând efortul să vă explic vouă ceea ce știu deja, voi descoperi și eu modalități noi de înțelegere a frumoaselor noțiuni de matematică. De exemplu, vă puteți baza pe mine în rezolvarea problemelor date în trecut la bacalaureat, rezolvări a căror înțelegere vă poate fi de mare folos la examene.

Dacă blogul va fi un succes, cu mulți vizitatori zilnici, care vor scoate astfel în evidență necesitatea blogului, mă voi dedica mai mult timp pentru înflorirea lui. Dacă va fi un eșec, măcar voi fi aprofundat și eu multe probleme didactice legate de înțelegerea matematicii. Desigur, există multe alte saituri interesante de acest gen (Pro-Didactica, Mate.info, mate-online-pentru-toti, mateinfo, variante-mate etcetera) care vă pot ajuta în demersul vostru privind învățarea matematicii. Eu, aici, însă, voi încerca să fac diferența numai prin amănuntele duse la extrem cu care voi încerca să vă explic rezolvările, acesta fiind, de fapt, motivul pentru care saitul se dorește a fi pentru începători, adică pentru cei care vor să înțeleagă de la zero totul. Iar dacă unii profesori vor găsi de cuviință să aplice câteva dintre ideile mele didactice transpărute aici, voi fi cu atât mai fericit la bătrânețe.

La fel ca voi, am și eu vise mari la care mă gândesc de multe ori cu bucurie. Visez să găsiți aici unul dintre cele mai bune bloguri de matematică pentru începători din lume, din ce în ce mai bun, tot mai bun, pe care să-l preferați cu toții, nu doar voi, ci chiar și prietenii voștri cei mai buni pe care îi îndrăgiți mult. De asemenea, visez să-l prefere nu doar copiii din prezent, ci chiar și copiii voștri pe care îi veți avea voi când veți crește mari.

Mai visez să creez o școală (de matematică și nu numai) pentru începători la care să predea (matematică și nu numai) profesori talentați și înțelegători, aleși cu multă grijă, care știu să coboare la orice nivel s-ar afla elevul și care știu să descrie fenomenul cu lux de amănunte.

Uneori, atunci când îmi voi da seama, voi aduce îmbunătățiri articolelor deja scrise aici, așa că este posibil ca la o nouă vizită ulterioară să găsiți o altă versiune, mai bună, a unui articol vechi.

Mult succes!