Faceți căutări pe acest blog

joi, 24 martie 2016

În care cadran se află unghiul de 3145 de grade?


Dacă, printr-o minune dumnezeiască, veți fi întrebat vreodată pe stradă în ce cadran se află unghiul de 3145 grade, va trebui să stabiliți două lucruri:

  1. Care unghi mai mic de 360 de grade îi corespunde unghiului de 3145 de grade.
  2. În ce cadran se află acel unghi corespunzător.

Să vedem, deci, care este povestea cu cadranele. V-am mai povestit cândva despre cadrane în articolul privind reducerea la primul cadran.

Cadranul este un sfert din cercul trigonometric. Și cum există patru sferturi, există și patru cadrane. Ele sunt numerotate în sens trigonometric (opus sensului de mers al acelor de ceasornic), așa cum se vede în figura de mai jos:

Ne amintim mai departe că un cerc complet are 360 de grade. Înseamnă că un cadran conține un sfert din 360, adică 90 de grade. Aceasta înseamnă că:

  1. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 0 grade și 90 de grade se află în cadranul I;
  2. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 90 de grade și 180 de grade se află în cadranul II;
  3. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 180 de grade și 270 de grade se află în cadranul III;
  4. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 270 de grade și 360 de grade se află în cadranul IV.
Bun. Dar ce ne facem cu unghiuri mai mari de 360 de grade, așa cum este al nostru (3145)? Păi, bineînțeles, după 360 de grade cadranele încep să se repete, iar unghiurile mai mari de 360 de grade se află în același cadran ca și unghiurile corespunzătoare, mai mici de 360 de grade.

Altfel spus, pentru unghiuri mari este suficient să scădem un multiplu de 360 de grade ca să ajungem la unghiul corespunzător ce ne va furniza cadranul căutat. Iar dacă unghiurile sunt foarte mari și ne-ar lua prea mult timp să tot scădem 360 și iar 360, atunci facem pur și simplu împărțirea acelui număr mare la 360, iar restul rămas este tocmai unghiul căutat.

Zis și făcut. Unghiul nostru de 3145 este prea mare ca să tot scădem din el de câteva ori 360, așa că vom face împărțirea lui 3145 la 360 și vom obține restul ca fiind 265. Înseamnă, deci, că unghiul de 3145 de grade se va afla în același cadran ca și unghiul de 265 de grade.

Apoi, unghiul de 265 de grade se află în cadranul III, din moment ce se află între 180 și 270. Așadar, răspunsul final pe care îl veți da este că unghiul de 3145 de grade se află și el tot în cadranul III.

luni, 21 martie 2016

Elementul neutru al legii $x\circ y=x+y+ceva$ este $-ceva$


Dacă primiți o lege de forma $$x\circ y=x+y+ceva,$$ atunci elementul neutru al acelei legi este $$e=-ceva.$$

De exemplu, dacă $$x\circ y=x+y+8,$$ atunci elementul neutru al acestei legi este $$e=-8.$$

Bineînțeles, dacă primiți legea $$x\circ y=x+y-3,$$ atunci elementul ei neutru va fi $$e=3.$$ Așadar, semnul elementului neutru este opus semnului pentru termenul liber.

Deci, dintr-o privire puteți ști care este elementul neutru al unei asemenea legi simple. Astfel de legi puteți primi destul de des la teme sau chiar la bac.

marți, 15 martie 2016

O șmecherie cu elementul neutru


Probabil ați întâlnit deja probleme în care vi se cere să găsiți elementul neutru al unei legi de compoziție. Elementul neutru al unei legi de compoziție este acel ceva care nu modifică valoarea termenului cu care este compus.

De exemplu, elementul neutru al adunării este $0$ pentru că zero nu-l modifică pe $5$ sau pe $8$ atunci când acestea se adună cu zero. Mai exact, zero este element neutru al adunării pentru că $5+0=5$ sau $8+0=8$.

De asemenea, elementul neutru al înmulțirii este $1$ pentru că $5\cdot 1=5$ sau $17\cdot 1=17$.

sâmbătă, 12 martie 2016

Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.


Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.

Un alt exemplu


În articolul precedent v-am dat o metodă de calcul al unei integrale din tabel, cunoscând o derivată din tabel. Să mai luăm acum un exemplu. Să presupunem că știți din tabelul cu derivate faptul că $$\large{\color{green}{\left(a^x\right)'=a^x\ln a}}.$$

Conform primei reguli din celălalt articol, aplicăm integrala acestei egalități și obținem $$\int\left(a^x\right)'=\int a^x\ln a.$$ Apoi, conform celei de-a doua reguli, integrala și derivata dispar și rămâne $$a^x=\int a^x\ln a.$$

Mai departe urmează niște calcule banale în care ținem seama de faptul că $\ln a$ este o constantă pe care o putem scoate în fața integralei și obținem $$a^x=\ln a\int a^x.$$ Apoi aruncăm constanta $\ln a$ în partea din stânga egalității, caz în care ea ajunge la numitor, deci obținem $$\frac{a^x}{\ln a}=\int a^x.$$

Apoi rotim egalitatea, căci din $a=b$ putem deduce și $b=a$, deci avem în sfârșit $$\large{\color{red}{\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}}}.$$

Ce ziceți, v-am convins acum că nu trebuie să memorați tot ceea ce întâlniți?

miercuri, 9 martie 2016

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!


Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

  1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
  2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$
Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.


duminică, 6 martie 2016

Mediana este una, mediatoarea este alta.


Mediana și mediatoarea sunt ușor, tare ușor de confundat. Prin ce diferă ele, oare?

Avem așa: mediana unește vârful cu mijlocul figurii opuse vârfului (care poate fi un segment, un triunghi etc.), pe când mediatoarea nu unește nimic, ci doar trece prin mijloc, dar nu trece oricum, ci perpendicular.

Iată o mediană ce coboară din vârful de sus al unui triunghi (și ajunge pe mijlocul laturii opuse):



Iar aici vedeți o mediatoare, deci o perpendiculară ridicată pe mijlocul bazei (mijlocul laturii pe care stă triunghiul):


Se vede clar că ele nu sunt unul și același lucru.

Dar există un caz interesant în care mediana și mediatoarea sunt unul și același lucru: cazul triunghiului isoscel. Altfel spus, dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei coincide cu mediatoarea bazei. Așadar, în acest caz, mediana este nu doar mediană, ci este chiar și înălțime și taie triunghiul mare în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Și reciproc este valabil: adică, dacă mediana coincide cu mediatoarea, atunci triunghiul este isoscel, adică cele două laturi diferite de bază sunt congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Habar n-aveți cât de utilă vă poate fi în probleme această reciprocă! Sau poate aveți...

De fapt, cele trei lucruri (mediana, mediatoarea și triunghiul isoscel) coexistă simultan. Mai precis, dacă două lucruri din cele trei sunt valabile, atunci este valabil și al treilea:

  1. Dacă un segment AD este mediană și mediatoare în același timp pe un segment BC, atunci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC dată de segmentul respectiv.
  2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei este totodată și mediatoare.
  3. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea bazei este totodată și mediană.


vineri, 4 martie 2016

Inecuația de gradul doi


Inecuațiile sunt aproape la fel ca și ecuațiile, doar că în locul semnului „egal” apare semnul „inegal”. Semnul „inegal” este unul dintre semnele $\geqslant$, $\leqslant$, $<$ sau $>$.

Desigur, această deosebire are ceva consecințe. În timp ce ecuațiile au de regulă un număr finit de soluții, inecuațiile au de regulă un număr infinit. Aceasta este regula, dar există și excepții. De exemplu, ecuația $x=x$ are o infinitate de soluții reale, iar inecuația $x<2$ are un număr finit de soluții naturale. Dar, de regulă, mulțimea soluțiilor unei ecuații poate fi scrisă ca o mulțime finită (cu acoladă), pe când mulțimea soluțiilor unei inecuații se prezintă sub forma unui interval.