Elementul neutru al legii $x\circ y=x+y+ceva$ este $-ceva$

Dacă primiți o lege de forma $$x\circ y=x+y+ceva,$$ atunci elementul neutru al acelei legi este $$e=-ceva.$$

De exemplu, dacă $$x\circ y=x+y+8,$$ atunci elementul neutru al acestei legi este $$e=-8.$$

Bineînțeles, dacă primiți legea $$x\circ y=x+y-3,$$ atunci elementul ei neutru va fi $$e=3.$$ Așadar, semnul elementului neutru este opus semnului pentru termenul liber.

Deci, dintr-o privire puteți ști care este elementul neutru al unei asemenea legi simple. Astfel de legi puteți primi destul de des la teme sau chiar la bac.



Desigur, dacă vi se cere elementul neutru al legii, nu este suficient să-l dați pur și simplu, ci trebuie să arătați și cum l-ați găsit. Și cum găsim un asemenea element neutru? Cum găsim elementul neutru al legii $$x\circ y=x+y+a\text{?}$$
Aplicăm teoria. Scriem o ECUAȚIE în care necunoscuta este tocmai elementul neutru. Această ecuație este, la modul cel mai general, de forma $$x\circ e=e\circ x=x.$$  
Prima egalitate, adică egalitatea $$x\circ e=e\circ x$$ este evidentă pentru o lege comutativă, deci o lege în care nu contează ordinea în care se face operația, de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga. 

Legea noastră este comutativă, deoarece $$x\circ y=x+y+a=y+x+a=y\circ x.$$ Așadar, pentru a construi ecuația noastră în $e$ care să ne furnizeze elementul neutru, va fi suficient să egalăm unul din termenii $x\circ e$ sau $e\circ x$ cu $x$, nu contează care.

Să zicem, deci, că facem $$x\circ e=x.$$ Scăpăm de semnul „$\circ$” prin explicitarea legii și obținem $$x\circ e=x+e+a=x.$$ Așadar, trebuie să rezolvăm ecuația $$x+e+a=x,$$ dar de data aceasta necunoscuta este $e$, nu $x$. Și o rezolvăm ca pe o ecuație liniară obișnuită. Aruncăm în dreapta termenii fără $e$ și avem $$e=x-x-a.$$ Cum $$x-x=0,$$ obținem că $$e=-a.$$ Exact ceea ce doream să demonstrăm.