Faceți căutări pe acest blog

vineri, 4 martie 2016

Inecuația de gradul doi


Inecuațiile sunt aproape la fel ca și ecuațiile, doar că în locul semnului „egal” apare semnul „inegal”. Semnul „inegal” este unul dintre semnele $\geqslant$, $\leqslant$, $<$ sau $>$.

Desigur, această deosebire are ceva consecințe. În timp ce ecuațiile au de regulă un număr finit de soluții, inecuațiile au de regulă un număr infinit. Aceasta este regula, dar există și excepții. De exemplu, ecuația $x=x$ are o infinitate de soluții reale, iar inecuația $x<2$ are un număr finit de soluții naturale. Dar, de regulă, mulțimea soluțiilor unei ecuații poate fi scrisă ca o mulțime finită (cu acoladă), pe când mulțimea soluțiilor unei inecuații se prezintă sub forma unui interval.


Inecuația de gradul unu este o inecuație care conține necunoscuta la puterea întâi, pe când inecuația de gradul doi este cea care conține necunoscuta la puterea a doua. Un exemplu fain de inecuație de gradul doi este inecuația $$x^2-5x+4\geqslant 0.$$

Pentru a rezolva o inecuație de gradul doi trebuie să rezolvăm întâi ecuația de gradul doi asociată. Adică trebuie să rezolvăm ecuația care iese dacă înlocuim în inecuația dată semnul „inegal” cu semnul „egal”. Așadar, în cazul nostru, trebuie să rezolvăm întâi ecuația $$x^2-5x+4=0.$$ O rezolvăm cum știm noi mai bine, băbește, deci cu delta sau, mai elegant, cu Viète și găsim că $x_1=1$ și $x_2=4$.

Mulți elevi cred că dacă au rezolvat ecuația, gata, pot trece la altă problemă pentru că ar fi rezolvat inecuația. Nici vorbă, nu e bine! Inecuația nu este rezolvată dacă ați rezolvat doar ecuația. Mai este un pas. Mai trebuie făcut tabelul! Tabelul de semne. Tabel din care să putem extrage intervalul nostru drag (sau poate chiar intervalele) care rezolvă inecuația noastră.

Așadar, să mai facem și tabelul. Tabelul va conține două linii, o linie pentru $x$ și o linie pentru expresia din stânga semnului „inegal”. În dreptul lui $x$ apar valorile posibile pentru $x$, iar în dreptul expresiei apar semnele posibile pentru expresie. Semnele se vor stabili în funcție de poezia aceea frumoasă și extrem de importantă pe care n-aveți voie s-o uitați (care este valabilă numai pentru inecuația de gradul doi, nu și pentru altfel de inecuații): „între rădăcini semn contrar lui a”, $a$ fiind numărul pe care îl găsiți în fața lui $x^2$ (în cazul nostru este $1$).

Haideți să vedem atunci cum arată tabelul în cazul nostru. Avem așa
$$\begin{array}{| c | c c c c c c c |}

\hline

x&-\infty&&1&&4&&\infty\\\hline

x^2-5x+4&&++++&0&---&0&++++& \\\hline

\end{array}.$$



Observați cum între cele două zerouri am pus „semn contrar lui $a$”.

Acest tabel conține rezolvarea. Doar că unii elevi n-au înțeles cum se poate ca un asemenea tabel să fie pus în legătură cu inecuația dată. Și, într-adevăr, e destul de ciudat. Ce treabă are semnul „inegal” cu tabelul?

Ne amintim că problema ne cere ca expresia $x^2-5x+4$ să fie mai mare sau egală cu zero. Dar, ne gândim noi așa, ce semn corespunde lui „mai mare sau egal cu zero”? Păi, sunt doar două variante. Plus, ori minus? Desigur, prin eliminare, numai plus poate fi. Așadar, expresia noastră trebuie să fie cu plus. Ahaaaa!

Atunci ne uităm în tabel în care porțiune avem plus în dreptul expresiei noastre și constatăm că expresia este cu plus atunci când $x$ se află între $-\infty$ și $1$ precum și atunci când $x$ se află între $4$ și $\infty$.

Astfel, putem scrie rezolvarea ca fiind dată de $$x\in(-\infty; 1]\cup[4;\infty).$$ Am pus paranteză pătrată în dreptul lui $1$ și $4$ pentru că semnul „$\geqslant$” conține și egalul, deci permite să includem în interval și rădăcina, nu doar numerele de lângă rădăcină. Dacă nu am fi avut și egalul, atunci puneam doar paranteze rotunde.

Așa se prezintă, deci, soluția unei inecuații. Observați ce diferită e soluția unei inecuații de soluția unei ecuații.