Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.

Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.



Am văzut mai sus că  $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$ Înlocuind acum pe $du$ cu $u'\cdot dx$, obținem  $$\int u^2 du=\int u^2 u' dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, dacă știm integrala cu $x$, putem s-o folosim pentru integrala cu $u$, dacă mai punem sub integrală și $u'$.

Deci, dacă vi s-ar da două integrale, una care să nu-l aibă pe $u'$ sub integrală $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{ \text{ neplăcut}}$$ și una care să-l aibă pe $u'$ sub integrală  $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}},$$ cea care ne-ar plăcea mai mult și care ar fi mai ușor de calculat ar fi aceea care îl are deja pe $u'$ sub integrală.

Să ne chinuim întâi cu integrala  $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{\text{ neplăcut}}.$$ Pentru a calcula această integrală, ar trebui să desfacem paranteza, ridicând-o la puterea a doua, așa cum ne-a învățat Newton cu binomul său. Deci, am folosi formula $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ După desfacerea parantezei, integrala ar deveni $$\int x^6+10x^3+25 dx.$$ Pe care o putem apoi separa în trei integrale ușoare. 

Bine, bine, am avut de data aceasta noroc, căci puterea parantezei a fost doar $2$. Dar imaginați-vă ce complicații ar fi apărut dacă puterea era $2016$ în loc de $2$! Cum ați mai fi rezolvat atunci integrala?

Acum, să revenim la integrala plăcută, cea în care ni se dă și $u'$ sub integrală. Mai exact, să vedem cum ne-am fi descurcat cu integrala  $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}}.$$ O metodă primitivă de calcul ar fi fost să desfacem și de data aceasta paranteza ca mai sus, după care să o înmulțim cu $3x^2$, după care să separăm integrala în trei bucăți mai simple. Se putea face și așa, dar nu mai este elegant. Avem o altă metodă acum. 

În noua integrală observăm că dacă punem $u=x^3+5$, atunci $u'=3x^2$. Asta înseamnă că integrala noastră poate fi scrisă astfel:  $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\int u'u^2dx.$$ Dar am văzut mai sus că $$\int u'u^2dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\frac{(x^3+5)^3}{3}.$$ Remarcabil de ușor de calculat!

Iar acum imaginați-vă că am fi primit o integrală de acest gen, care îl are deja pe $u'$, dar nu la puterea $2$, ci la orice putere, oricât de urâtă, de exemplu, la puterea $2016$. Nu era nicio complicație în plus. Folosindu-ne de formula $$\int u'u^{2016}dx=\frac{u^{2017}}{2017},$$ asemănătoare cu cea pentru $x$, am fi obținut rapid rezultatul. Adică, aveam așa $$\int 3x^2(x^3+5)^{2016}dx=\frac{(x^3+5)^{2017}}{2017}.$$

Care este morala? Morala este că, atunci când primiți o integrală ce pare nasoală, să vă gândiți dacă nu cumva sub integrală se ascunde vreun $u'$ pe undeva, căci atunci nu vă rămâne decât să știți o integrală mai simplă în care în locul literei $u$ ați folosi litera $x$.