Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$
Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.
Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.
Am văzut mai sus că $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$ Înlocuind acum pe $du$ cu $u'\cdot dx$, obținem $$\int u^2 du=\int u^2 u' dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, dacă știm integrala cu $x$, putem s-o folosim pentru integrala cu $u$, dacă mai punem sub integrală și $u'$.
Deci, dacă vi s-ar da două integrale, una care să nu-l aibă pe $u'$ sub integrală $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{ \text{ neplăcut}}$$ și una care să-l aibă pe $u'$ sub integrală $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}},$$ cea care ne-ar plăcea mai mult și care ar fi mai ușor de calculat ar fi aceea care îl are deja pe $u'$ sub integrală.
Să ne chinuim întâi cu integrala $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{\text{ neplăcut}}.$$ Pentru a calcula această integrală, ar trebui să desfacem paranteza, ridicând-o la puterea a doua, așa cum ne-a învățat Newton cu binomul său. Deci, am folosi formula $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ După desfacerea parantezei, integrala ar deveni $$\int x^6+10x^3+25 dx.$$ Pe care o putem apoi separa în trei integrale ușoare.
Bine, bine, am avut de data aceasta noroc, căci puterea parantezei a fost doar $2$. Dar imaginați-vă ce complicații ar fi apărut dacă puterea era $2016$ în loc de $2$! Cum ați mai fi rezolvat atunci integrala?
Acum, să revenim la integrala plăcută, cea în care ni se dă și $u'$ sub integrală. Mai exact, să vedem cum ne-am fi descurcat cu integrala $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}}.$$ O metodă primitivă de calcul ar fi fost să desfacem și de data aceasta paranteza ca mai sus, după care să o înmulțim cu $3x^2$, după care să separăm integrala în trei bucăți mai simple. Se putea face și așa, dar nu mai este elegant. Avem o altă metodă acum.
În noua integrală observăm că dacă punem $u=x^3+5$, atunci $u'=3x^2$. Asta înseamnă că integrala noastră poate fi scrisă astfel: $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\int u'u^2dx.$$ Dar am văzut mai sus că $$\int u'u^2dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\frac{(x^3+5)^3}{3}.$$ Remarcabil de ușor de calculat!
Iar acum imaginați-vă că am fi primit o integrală de acest gen, care îl are deja pe $u'$, dar nu la puterea $2$, ci la orice putere, oricât de urâtă, de exemplu, la puterea $2016$. Nu era nicio complicație în plus. Folosindu-ne de formula $$\int u'u^{2016}dx=\frac{u^{2017}}{2017},$$ asemănătoare cu cea pentru $x$, am fi obținut rapid rezultatul. Adică, aveam așa $$\int 3x^2(x^3+5)^{2016}dx=\frac{(x^3+5)^{2017}}{2017}.$$
Care este morala? Morala este că, atunci când primiți o integrală ce pare nasoală, să vă gândiți dacă nu cumva sub integrală se ascunde vreun $u'$ pe undeva, căci atunci nu vă rămâne decât să știți o integrală mai simplă în care în locul literei $u$ ați folosi litera $x$.
Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.
Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.
Am văzut mai sus că $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$ Înlocuind acum pe $du$ cu $u'\cdot dx$, obținem $$\int u^2 du=\int u^2 u' dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, dacă știm integrala cu $x$, putem s-o folosim pentru integrala cu $u$, dacă mai punem sub integrală și $u'$.
Deci, dacă vi s-ar da două integrale, una care să nu-l aibă pe $u'$ sub integrală $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{ \text{ neplăcut}}$$ și una care să-l aibă pe $u'$ sub integrală $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}},$$ cea care ne-ar plăcea mai mult și care ar fi mai ușor de calculat ar fi aceea care îl are deja pe $u'$ sub integrală.
Să ne chinuim întâi cu integrala $$\int (x^3+5)^2dx\color{red}{\text{ neplăcut}}.$$ Pentru a calcula această integrală, ar trebui să desfacem paranteza, ridicând-o la puterea a doua, așa cum ne-a învățat Newton cu binomul său. Deci, am folosi formula $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ După desfacerea parantezei, integrala ar deveni $$\int x^6+10x^3+25 dx.$$ Pe care o putem apoi separa în trei integrale ușoare.
Bine, bine, am avut de data aceasta noroc, căci puterea parantezei a fost doar $2$. Dar imaginați-vă ce complicații ar fi apărut dacă puterea era $2016$ în loc de $2$! Cum ați mai fi rezolvat atunci integrala?
Acum, să revenim la integrala plăcută, cea în care ni se dă și $u'$ sub integrală. Mai exact, să vedem cum ne-am fi descurcat cu integrala $$\int \color{lightgreen}{3x^2}(x^3+5)^2dx\color{lightgreen}{\text{ plăcut}}.$$ O metodă primitivă de calcul ar fi fost să desfacem și de data aceasta paranteza ca mai sus, după care să o înmulțim cu $3x^2$, după care să separăm integrala în trei bucăți mai simple. Se putea face și așa, dar nu mai este elegant. Avem o altă metodă acum.
În noua integrală observăm că dacă punem $u=x^3+5$, atunci $u'=3x^2$. Asta înseamnă că integrala noastră poate fi scrisă astfel: $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\int u'u^2dx.$$ Dar am văzut mai sus că $$\int u'u^2dx=\frac{u^3}{3}.$$ Așadar, $$\int 3x^2(x^3+5)^2dx=\frac{(x^3+5)^3}{3}.$$ Remarcabil de ușor de calculat!
Iar acum imaginați-vă că am fi primit o integrală de acest gen, care îl are deja pe $u'$, dar nu la puterea $2$, ci la orice putere, oricât de urâtă, de exemplu, la puterea $2016$. Nu era nicio complicație în plus. Folosindu-ne de formula $$\int u'u^{2016}dx=\frac{u^{2017}}{2017},$$ asemănătoare cu cea pentru $x$, am fi obținut rapid rezultatul. Adică, aveam așa $$\int 3x^2(x^3+5)^{2016}dx=\frac{(x^3+5)^{2017}}{2017}.$$
Care este morala? Morala este că, atunci când primiți o integrală ce pare nasoală, să vă gândiți dacă nu cumva sub integrală se ascunde vreun $u'$ pe undeva, căci atunci nu vă rămâne decât să știți o integrală mai simplă în care în locul literei $u$ ați folosi litera $x$.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.