Faceți căutări pe acest blog

joi, 12 februarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a


Fie funcția f(x):RR, dată prin legea f(x)=1x2+4. Calculați 20f2(x)dx.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
f2(x)=(1x2+4)2=12(x2+4)2.

Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
(7)2=77=77=49=7.



Prin urmare, f2(x)=12(x2+4)2=1x2+4.
Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este 20f2(x)dx=201x2+4dx.


Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de 4 aveți alt număr. Mai exact ba1x2+a2dx=1aarctanxa|ba.


Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum 1x2+a2. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine 20f2(x)dx=201x2+4dx=201x2+22dx.

Adică, la noi a devine 2. În final 20f2(x)dx=201x2+22dx=12arctanx2|20.
Adică 20f2(x)dx=12arctanx2|20=(12arctan22)(12arctan02).

Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este arctan1 și arctan0. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă 1?” și „tangentă de cât ne dă 0?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt π4 și, respectiv, 0. Atunci, integrala căutată devine 20f2(x)dx=12π4=π8.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare