Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.
Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$
Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$
Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$
Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.
Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$
Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$
Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$
Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$
Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.
Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.