Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.c

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Arătați că dacă $m>0$, atunci polinomul are două rădăcini de același modul.



Știm că orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul 3 are 3 rădăcini, așa cum orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul $n$ are $n$ rădăcini. Este o cunoștință foarte prețioasă și fundamentală, oricât de banală ar părea.

Din păcate, să nu uitați, această cunoștință este valabilă doar pentru polinoamele ai căror coeficienți sunt numere reale. Căci, de exemplu, dacă luăm un polinom cu coeficienți în $\mathbb{Z_4}=\{\hat 0;\,\hat 1;\,\hat 2;\,\hat 3\}$ (mulțimea claselor de resturi modulo 4), polinom dat de $g(X)=\hat 2X+\hat 2$, acesta va avea două rădăcini ($x_1=\hat 1$ și $x_2=\hat 3$), deși gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, știm că polinomul nostru are sigur trei rădăcini. De regulă, notăm rădăcinile polinomului ca fiind $x_1$, $x_2$ și, respectiv, $x_3$. Acum noi trebuie să arătăm că două dintre ele au același modul.

Unui elev care știe ceva matematică îi vine în minte o informație foarte prețioasă legată de această problemă: rădăcinile nereale (adică, cele care au și parte imaginară) vin în perechi. Mai exact, elevul își va aminti că dacă un polinom are rădăcina complexă $z=a+bi$, atunci el are musai și rădăcina conjugată $\overline{z}=a-bi$.

Și cum de îi vine lui în minte așa ceva? De ce se gândește elevul bun neapărat la faptul că numerele complexe vin în perechi? De unde vine această intuiție formidabilă a elevului? Răspunsul se află în formularea problemei, pentru că problema amintește despre două rădăcini și pentru că elevul știe că rădăcina complexă $z=a+bi$ are exact același modul cu rădăcina complexă conjugată, adică $|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Așadar, elevul are deja în minte planul rezolvării problemei. El va arăta întâi că în condițiile date (deci cu $m$ strict pozitiv) polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale. Astfel, cel puțin una dintre rădăcini va trebui să fie nereală (deci, cu partea imaginară nenulă). Dar dacă una dintre rădăcini este nereală, atunci și a doua va fi nereală (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, și a doua va avea același modul ca și prima. Și gata!

Ia să vedem atunci. Să arătăm împreună cu istețul nostru elev că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Asta-i cel mai greu. Cum am putea arăta că rădăcinile noastre nu pot fi toate reale?

De regulă, pentru a arăta că ceva nu este adevărat, presupunem prin absurd că acel ceva este adevărat și continuăm un raționament corect până când ajungem la o contradicție. Așadar, noi vom presupune prin absurd că toate rădăcinile polinomului nostru sunt reale. Și căutăm să vedem la ce contradicție ajungem.

Și nici măcar nu vom merge la întâmplare, căci știm chiar și ce contradicție căutăm. Căutăm o contradicție între faptul absurd pe care l-am presupus, anume că toate rădăcinile sunt reale, și faptul care ni se dă în problemă și anume că $m$ este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva se ascunde contradicția căutată. Așadar, ne vom gândi cum putem crea o contradicție între faptul că trei numere sunt reale și faptul că un alt număr este mereu strict pozitiv. Deci, trebuie să ne gândim la o inegalitate care poate fi creată între trei numere reale și un număr pozitiv.

Aha! Sub influența acestor căutări, ne vine în minte una dintre cele mai importante inegalități din matematică: dacă $x$ este număr real, atunci $x^2\ge 0$. Înseamnă că ar trebui să facem cumva legătura între ceva expresie cu pătratul rădăcinilor și numărul $m$.

Pătratul rădăcinilor! Ia să ne gândim la pătratul rădăcinilor. Cum putem să ne gândim la pătratul tuturor celor trei rădăcini? Cred că numai făcând suma pătratelor acestora. Așadar, ne interesează expresia de forma $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Vrem să cunoaștem semnul acestei expresii, pentru a-l compara cu semnul lui $m$.

Este clar că pentru ceea ce urmează vom avea nevoie de minunatele relații ale lui Viète pentru un polinom de gradul trei, pentru că numai acolo putem să găsim suma rădăcinilor și suma pătratelor acestora. Iar acest lucru îl va simți elevul care cunoaște relațiile dintre coeficienți și rădăcini.

Pentru aceasta, ne amintim că există formula de calcul prescurtat
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$$
din care rezultă apoi că
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc).$$

Aplicăm această relație la rădăcinile polinomului nostru. Adică, avem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

Ne apropiem acum de finalul rezolvării, căci în expresia de mai sus vom folosi relațiile lui Viète. Relațiile lui Viète ne spun, printre altele, că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{\text{coeficientul din fața lui }X^2}{\text{coeficientul dominant}}$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{\text{coeficientul din fața lui }X}{\text{coeficientul dominant}}.$$

Asta înseamnă că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{0}{1}=0$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{m}{1}=m.$$

Atunci,
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0-2m=-2m.$$

Dar $-2m$ este un număr negativ, din moment ce $m$ este strict pozitiv. Adică, am obținut că suma pătratelor rădăcinilor este un număr negativ. Dar acest lucru vine în contradicție cu presupunerea că toate rădăcinile sunt numere reale, căci ar fi trebuit să obținem că suma pătratelor a trei numere reale este un număr pozitiv.

Așadar, am demonstrat riguros, în sfârșit, că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum pot fi rădăcinile? Toate sunt rădăcini nereale? Nuuuu! Doar am văzut mai sus că rădăcinile complexe vin în perechi. Așadar, nu putem avea trei rădăcini nereale, ci numai două. Iar acele două sunt conjugate, după cum am văzut mai sus. Și tot mai sus am văzut că rădăcinile complexe conjugate au același modul. Iar acestea fiind spuse, am finalizat rezolvarea.




Desigur, voi la bac nu va trebui să-i explicați examinatorului atâtea detalii, căci el știe bine cu ce se mănâncă matematica. Lui îi veți scrie că din relațiile lui Viète rezultă că avem și rădăcini nereale și îi veți menționa că știți că rădăcinile nereale vin în perechi conjugate care au același modul.