Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.
Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.
Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?
Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$
Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$
Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.
Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$
Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$
Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...
Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.
Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?
Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.
$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$
Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$
Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.
Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$
Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$
Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.