Procente, scumpiri, ieftiniri

Putem întâlni probleme (ușoare) care ne dau prețul inițial al unui produs și care ne cer apoi prețul final după o scumpire sau o ieftinire.

Apoi, mai putem întâlni probleme ceva mai grele care ne dau, invers, întâi prețul final și ne cer prețul inițial pe care l-a avut anumitul produs înainte de scumpire sau de ieftinire.

În lecția de față vom găsi câteva formule care guvernează asemenea calcule și vom încerca să le facem cât mai ușor de înțeles.

Primul tip: se dă prețul inițial și procentul de scumpire și se cere prețul final

Începem cu cel mai simplu tip de probleme de acest gen: probleme în care se dă prețul inițial, se dă procentul de scumpire sau ieftinire și ni se cere prețul final. 


Mai exact, să zicem că ni se dă prețul inițial (notat cu I) ca fiind I=120 de lei și ni se dă procentul de scumpire (notat cu P), P=25% . Și ni se cere prețul final (notat cu F).

Rezolvare. Scumpirea unui produs înseamnă mărirea prețului său cu o anumită valoare. Pentru a găsi prețul final după scumpire, avem de făcut două calcule:

1. Calculăm întâi CU CÂT se scumpește produsul, deci, calculăm scumpirea S în funcție de procentul P.
2. ADUNĂM apoi la prețul inițial tocmai această scumpire și obținem prețul final, adică facem F=I+S.

Cel mai greu este primul calcul, cel al scumpirii, căci adunările de la punctul doi nu sunt dificile. Să vedem, așadar, cum găsim scumpirea. În cazul nostru, procentul de scumpire este P=25%. Acest procent P trebuie aplicat la prețul inițial pentru a găsi scumpirea S. 

Nu confundați procentul cu scumpirea! Unii elevi grăbiți adună pur și simplu prețul inițial cu procentul, în loc să aibă răbdare să calculeze întâi scumpirea și apoi să adune prețul inițial cu scumpirea.

Avem atunci următoarea formulă cu care putem calcula scumpirea când cunoaștem prețul inițial și procentul de scumpire:

$$S=\frac{P}{100}\cdot I.$$

Aceasta este formula de calcul al scumpirii. Știu că este urâtă, dar n-am găsit una mai simplă.

Aplicăm această formulă pentru problema noastră și obținem 

$$S=\frac{25}{100}\cdot 120.$$

Acum, dacă avem scumpirea S, putem să trecem la pasul doi și găsim ușor prețul final:

$$F=I+S=120+\frac{25}{100}\cdot 120.$$

Deși aș prefera să nu stric această bunătate de formulă, totuși vom face calculele în cazul nostru concret, că doară de-aia am dat aceste valori. Așadar, după simplificare cu 10 și apoi cu 2, avem $$F=120+\frac{25\cdot 120}{100}=120+\frac{25\cdot 12}{10}=120+\frac{25\cdot 6}{5}.$$

Mai simplificăm apoi și cu 5 și avem


$$F=120+\frac{5\cdot 6}{1}=120+30=\color{red}{150}.$$Așadar, prețul final după scumpire este 150 lei.

Dar oare putem generaliza ceva din această problemă? Dacă într-o altă problemă vom primi alte valori, ne vom putea descurca să calculăm prețul final?

Haideți mai bine să nu concretizăm calculul precedent și să ne străduim să generalizăm formula. Atunci, vom avea din nou:
$$F=I+S=120+\frac{25}{100}\cdot 120.$$
Doar că de data aceasta nu mai calculăm efectiv scumpirea și prețul final, ci vrem să aducem acest rezultat la o formă mai elegantă.

Pentru aceasta vom da factor comun pe 120. Și vom obține $$F=120\left(1+\frac{25}{100}\right).$$
Apoi aducem la numitor comun și obținem o expresie în care nu mai avem nevoie de paranteză:
$$F=120\frac{100+25}{100}.$$

Observați că n-am făcut calculele simple, ci l-am lăsat pe 100 neadunat cu 25. Asta ca să putem generaliza formula obținută. Mai exact, putem spune acum că prețul final când cunoaștem prețul inițial și procentul de scumpire va fi:$$\color{red}{\boxed{F=I\cdot\frac{100\pm P}{100}}}.$$

De ce credeți că apare și un minus acolo sus la numărător? Pentru că acel minus se va folosi în cazul în care scumpirea este negativă, adică atunci când produsul se ieftinește.

Aveți, așadar, o formulă de bază pentru a găsi prețul final după o scumpire (sau ieftinire) cu un anumit procent.

Al doilea tip: se dă prețul final și procentul de scumpire și se cere prețul  inițial

Acum vom trece la problema inversă, a găsirii prețului inițial când ni se dă prețul final.

Mai exact, să zicem că ni se dă prețul final ca fiind F=150 de lei și ni se dă procentul de scumpire (notat cu P), P=25% . Și ni se cere prețul inițial.

Rezolvare. Putem folosi formula precedentă, doar că trebuie să facem mici transformări. Astfel, din 

$$F=I\cdot\frac{100\pm P}{100}$$

îl scoatem pe I. Avem atunci

$$I=F:\frac{100\pm P}{100}=F\cdot\frac{100}{100\pm P}.$$
Așadar, avem formula pentru cazul invers:

$$\color{green}{\boxed{I=F\cdot\frac{100}{100\pm P}}}.$$

Iată că avem acum cele două formule de bază de care ați putea avea nevoie pentru a putea calcula unul dintre prețurile produsului.

Dacă problema ar fi și mai rea, atât de rea încât v-ar cere tocmai procentul de scumpire, atunci acesta l-ați putea obține din formula 

$$\color{blue}{\boxed{\pm P=100\cdot\frac{F-I}{I}}}.$$

Observați că dacă prețul final este mai mare decât prețul inițial, procentul obținut este pozitiv, deci este vorba despre scumpire, iar dacă prețul final este mai mic decât cel inițial, este vorba despre ieftinire.