Cosinusul și sinusul jumătății

Vă spuneam pe undeva că teorema fundamentală a trigonometriei (deci, teorema pe care ar trebui s-o știe întru început un elev care învață trigonometrie) ne spune că $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}.$$ De asemenea, tot pe undeva pe blog am arătat că $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}}.$$

Observați ce seamănă cele două formule? Un simplu semn le schimbă într-atât valoarea! Așadar, atenție la semnele pe care le folosiți. Eu vă recomand să respectați semnul minus cam de cinci ori mai mult decât îl respectați pe semnul plus.

Mergem treptat (era să zic „pas cu pas”) pornind de la aceste două minuni și vom obține niște formule foarte importante privind jumătatea unghiului. Suma celor două minuni ne va da cosinusul jumătății, iar diferența celor două ne va da sinusul.

Într-un determinant putem să dăm factor comun

În determinantul $$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&20&60\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=156$$ putem observa că linia a doua conține multiplii de $4$, căci $4=4\cdot 1$, $20=4\cdot 5$, iar $60=4\cdot 15$. 

În cazul acesta, putem da factor comun pe $4$ și vom obține o nouă formă a determinantului, mai simplă, în care a doua linie are numere mai mici, și anume $$\Delta=4\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 1&5&15\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=4\cdot 39=156.$$

Atenție, observați că celelalte linii rămân nemodificate!

Așadar, căutați pe viitor asemenea factori comuni într-o linie sau o coloană a unui determinant, ca să vă faceți viața mai ușoară.

Dacă schimbăm o linie cu alta, schimbăm semnul determinantului

Dacă într-un determinant schimbăm o linie cu alta, atunci se schimbă semnul determinantului. Dacă în determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ schimbăm linia doi cu linia trei, de exemplu, atunci obținem determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 7&8&10\\4&5&6\\  \end{array} \right|=3=-\Delta_1.$$

Bineînțeles, după cum știți deja, acest lucru este valabil și pentru coloane, nu doar pentru linii.

Un determinant de ordinul trei este cât trei determinanți de ordinul doi

O problemă grea poate fi descompusă în mai multe probleme ușoare (aceasta este cheia succesului!), iar un determinant urât poate fi descompus în mai mulți determinanți drăguți. Determinantul de ordinul trei $\Delta_1$, de care tot vorbim de câteva zile încoace, poate fi descompus în trei determinanți de ordinul doi (iar în general, un determinant de ordinul $N$ poate fi descompus în $N$ determinanți de ordin $N-1$).

Astfel, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris ca $$\Delta_1=1\cdot\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+7\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 5&6\\ \end{array} \right|.$$

Orice determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli

Am văzut că determinantul precedent avea valoarea $-3$. Dar acest determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli, care conțin zero-uri. Mai exact, determinantul  $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris, de exemplu, ca o sumă dintre determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 0&8&0\\ \end{array} \right|=48$$ și determinantul $$\Delta_3=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&0&10\\ \end{array} \right|=-51.$$

Observați că nu ne-am atins decât de linia trei, pe restul lăsându-le intacte! De asemenea, observați că adunând elementele liniei trei din determinanții $\Delta_2$ și $\Delta_3$, obținem exact elementele liniei trei din determinantul $\Delta_1$.

Un determinant nu se schimbă dacă înlocuim o linie cu suma a două linii DIFERITE

De exemplu, determinantul
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|$$

are aceeași valoare cu determinantul
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4+7&5+8&6+10\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|.$$

Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.

ProblemaV1SIP5: În sistemul cartezian xOy se dau punctele M(1,-4) și N(-2,5). Să se determine dreapta care trece prin originea sistemului și este perpendiculară pe dreapta MN.

Dacă ni se cere o dreaptă, înseamnă că răspunsul nostru trebuie să fie ceva de genul: $ax+by+c=0$ sau ceva și mai simplu, de genul $y=mx+n$. Acest „ceva” se numește „ecuația dreptei”. Primul ceva se numește „ecuația generală a dreptei”, iar al doilea ceva se numește „ecuația redusă a dreptei”. Putem trece ușor de la o formă la alta, prin operații permise asupra unei egalități, pe care le cunoașteți, precum trecerea unui termen dintr-o parte într-alta (cu semn schimbat) sau înmulțirea (împărțirea) întregii egalități cu un număr oarecare diferit de zero.