Un determinant nu se schimbă dacă înlocuim o linie cu suma a două linii DIFERITE

De exemplu, determinantul
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|$$

are aceeași valoare cu determinantul
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4+7&5+8&6+10\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|.$$

Determinantul $\Delta_2$ a fost obținut din determinantul $\Delta_1$ prin copierea liniilor (1) și (3) așa cum au fost ele în determinantul $\Delta_1$ (liniile sunt seturi de numere citite de la stânga la dreapta, iar coloanele sunt seturi de numere citite de sus în jos), dar linia (2) din determinantul $\Delta_2$ a fost obținută prin adunarea liniilor (2) și (3) din determinantul $\Delta_1$. Atât $\Delta_1$, cât și $\Delta_2$ au aceeași valoare, $-3$.

Această transformare se poate scrie prescurtat drept „$L_2\to L_2+L_3$” și înseamnă „linia doi devine linia doi plus linia trei”.

Desigur, ceea ce am spus despre linii este valabil și pentru coloane, căci determinantul nu se schimbă nici dacă schimbăm liniile cu coloanele și coloanele cu liniile.

Observați acum că în titlu am scris cu majuscule cuvântul „DIFERITE”. Asta pentru că dacă adunăm o linie cu ea însăși, determinantul nu mai rămâne același, ci obținem un determinant de două ori mai mare.

Ei bine, ce credeți că se întâmplă dacă în loc de adunare facem scădere? Se schimbă cumva valoarea determinantului? Bineînțeles că nu, căci scăderea este tot un fel de sumă, doar că este suma numerelor opuse. Mai exact, $5-3$ poate fi scris ca $5+(-3)$ (unde $-3$ este opusul lui $3$), deci nu se produce nicio schimbare de valoare.