Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.

Dar, vai! Constatăm cu regret că noi nu avem nici valoarea de $15^\circ$ în tabelul trigonometric! Așa că s-ar părea că am redus degeaba unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Cum ne vom descurca atunci? Păi, veți vedea că avem o mulțime de variante ca să ne descurcăm. Pentru că așa e în matematica asta minunată: dacă nu ne amintim o metodă, atunci e foarte posibil să ne putem aminti o alta care să ne ducă la rezultat.

Metoda 1

Această metodă nu ne mai obligă să reducem unghiul $105^\circ$ la primul cadran, dar ne obligă să știm cum se calculează $\cos(a+b)$. Deci, vom folosi această metodă dacă stăm bine cu formula cosinusului sumei sau diferenței. Mai exact, cu această metodă, elevul va observa că unghiul dat se poate scrie ca o sumă drăguță între două unghiuri principale, care se regăsesc în primul cadran: $$105=60+45,$$ deci va avea de calculat de fapt $$\cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ).$$ Așadar, suntem în cazul elevului care știe cosinusul sumei, adică știe formula $$\cos(a+b)=\cos a\cdot\cos b-\sin a\cdot\sin b.$$

Atunci, facem doar înlocuirile și obținem $$\cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)=\cos 60^\circ\cdot\cos 45^\circ-\sin 60^\circ\cdot\sin 45^\circ.$$ Așadar, $$\cos 105^\circ=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\large{\color{red}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}}.$$

Metoda 2

Acum, să presupunem că nu ne mai amintim formula cosinusului sumei sau diferenței, dar ne-o amintim pe cea a sinusului sumei sau diferenței. Deci, dacă îl cunoaștem pe sinus mai bine decât pe cosinus, atunci reducem unghiul de $105^\circ$ la primul cadran, obținând minus sinus de $15^\circ$ și observăm că, de data aceasta, îl putem scrie pe $15$ ca o diferență de unghiuri din primul cadran, adică $$15^\circ=45^\circ-30^\circ.$$ Și cum suntem în cazul elevului care știe formula $$\sin(a-b)=\sin a\cdot\cos b-\sin b\cdot\cos a,$$ atunci vom face înlocuirile cunoscute și vom obține $$\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ=-\sin(45^\circ-30^\circ),$$ deci $$\cos 105^\circ=-(\sin 45^\circ\cdot\cos 30^\circ-\sin 30^\circ\cdot\cos 45^\circ).$$

Făcând înlocuirile cu valorile din primul cadran, mai avem atunci $$\cos 105^\circ=-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\large{\color{red}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}}.$$

Firesc, am obținut același rezultat, căci minusul din fața parantezei schimbă semnele din paranteză.

Metoda 3

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim nici formulele pentru cosinusul sau sinusul sumei și diferenței? Mai avem atunci vreo metodă? Da, mai avem. Să presupunem acum că nu ne amintim decât formula pentru sinusul jumătății unui unghi. Mai exact, ne amintim că $$\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}.$$ O să vă arăt odată cum se poate găsi ușor și această formulă, dar acum ne situăm în poziția elevului bucuros că știe această formulă fără să facă vreun alt efort. 

Să trecem atunci la treabă și să observăm că $15^\circ$ este jumătatea lui $30^\circ$. Așadar, avem că $$\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ=-\sin\frac{30^\circ}{2}.$$ Atunci, din formula sinusului jumătății, știind că semnul este negativ pentru cosinusul unui unghi din cadranul doi, obținem $$\cos 105^\circ=-\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\large{\color{red}{-\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}}}.$$

Aoleu! Adică, cum? Am obținut o altă valoare cu metoda 3? Nu! Nici vorbă! Este una și aceeași valoare, doar prezentată în altă formă. Mai exact, avem cu siguranță egalitatea $$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=-\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}.$$  

Și ca să ne convingem de această egalitate, vom ridica la pătrat membrul din stânga egalității, ca să vedem dacă obținem exact ceea ce se află sub radical. Așadar, $$\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)^2=\frac{2-2\sqrt{2}\sqrt{6}+6}{16}=\frac{8-2\sqrt{12}}{16}.$$ Și cum $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, mai avem atunci că $$\left(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)^2=\frac{8-4\sqrt{3}}{16}=\frac{4(2-\sqrt{3})}{16}.$$ Simplificând în final cu $4$, obținem exact ceea ce trebuia, ceea ce se află sub radicalul din membrul drept al egalității $$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=-\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}.$$