Cosinusul și sinusul jumătății

Vă spuneam pe undeva că teorema fundamentală a trigonometriei (deci, teorema pe care ar trebui s-o știe întru început un elev care învață trigonometrie) ne spune că $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}.$$ De asemenea, tot pe undeva pe blog am arătat că $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}}.$$

Observați ce seamănă cele două formule? Un simplu semn le schimbă într-atât valoarea! Așadar, atenție la semnele pe care le folosiți. Eu vă recomand să respectați semnul minus cam de cinci ori mai mult decât îl respectați pe semnul plus.

Mergem treptat (era să zic „pas cu pas”) pornind de la aceste două minuni și vom obține niște formule foarte importante privind jumătatea unghiului. Suma celor două minuni ne va da cosinusul jumătății, iar diferența celor două ne va da sinusul.


Așadar, mai întâi, vom aduna cele două minuni. Adică, vom aduna membrul din stânga al formulei $\cos^2x+\sin^2x=1$ cu membrul din stânga al formulei $\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)$ și vom egala această cantitate cu suma dintre membrii din partea dreaptă a celor două formule. Vom obține $$(\cos^2x+\sin^2x)+(\cos^2x-\sin^2x)=1+\cos(2x).$$

Parantezele pe care le-am folosit în stânga sunt fără prea mult rost, căci le-am pus doar ca să vă amintesc de unde am adunat termenii. Așa că vă puteți imagina, de fapt, că am obținut $$\cos^2x+\sin^2x+\cos^2x-\sin^2x=1+\cos(2x).$$

Dar acolo în stânga avem prea mulți termeni și putem să facem ceva cu ei. Observăm că apare $\sin^2x$ și $-\sin^2x$. Acești doi termeni se anulează reciproc, așa că nu o să-i mai scriem. De asemenea, $\cos^2x+\cos^2x=2\cos^2x$, căci un măr (un cosinus la pătrat) plus un alt măr fac două mere. Obținem atunci relația importantă $$2\cos^2x=1+\cos(2x).$$

Din această relație vom obține o parte din ceea ce ne dorim noi, adică tocmai cosinusul jumătății unui unghi. Mai exact, aruncăm în dreapta $2$-ul acela de lângă cosinus și obținem $$\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.$$ Formula asta ne spune tot ce ne dorim, căci ea este valabilă orice număr am pune în locul lui $x$, deci chiar și dacă punem în locul lui $x$ ceva de genul $\frac{a}{2}$. Haideți să vedem ce iese dacă punem în locul lui $x$ tocmai $\frac{a}{2}$. Avem atunci $$\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos(2\frac{a}{2})}{2}.$$ Și cum $2\frac{a}{2}=a$, obținem formula jumătății: $$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}.$$ Iar dacă vrem să scăpăm și de pătratul lui cosinus, atunci obținem formula directă $$\large{\color{blue}{\cos\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}}}.$$ Semnul depinde de cadranul în care se află jumătatea unghiului, căci știți unde este pozitiv și unde este negativ cosinusul prin cercul trigonometric (pozitiv în cadranul unu și patru, negativ în rest). 





Acuma să arătăm că sinusul diferă doar printr-un semn de cosinus, în acest caz, deci merită reținute ambele formule ămpreună. Mai exact, vom arăta că $$\large{\color{magenta}{\sin\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}}.$$ Pentru aceasta ne vom folosi tot de cele două minuni  $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}$$ și $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}},$$ doar că de data aceasta noi le vom scădea, adică vom scădea din prima minune pe cea de-a doua. 

Așadar, în urma scăderii celor două egalități, obținem $$(\cos^2x+\sin^2x)-(\cos^2x-\sin^2x)=1-\cos(2x).$$ De data aceasta, a doua paranteză nu mai este inutilă, căci desfacerea ei va implica schimbarea semnelor. Mai exact, după desfacere obținem  $$\cos^2x+\sin^2x-\cos^2x+\sin^2x=1-\cos(2x).$$ Dacă mai sus s-a redus sinusul, acum se reduce cosinusul și ne rămâne  $$2\sin^2x=1-\cos(2x).$$ Apoi, făcând împărțirea cu $2$ și punând radicalul, obținem  $$\sin x=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}.$$ Mai departe, făcând șmecheria cu $x=\frac{a}{2}$, obținem exact formula pentru jumătatea sinusului, scrisă deja mai sus  $$\large{\color{magenta}{\sin\frac{a}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}}}.$$

Rețineți-le pe amândouă și gândiți-vă că la cosinus nu avem minus.