Orice determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli

Am văzut că determinantul precedent avea valoarea $-3$. Dar acest determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli, care conțin zero-uri. Mai exact, determinantul  $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris, de exemplu, ca o sumă dintre determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 0&8&0\\ \end{array} \right|=48$$ și determinantul $$\Delta_3=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&0&10\\ \end{array} \right|=-51.$$

Observați că nu ne-am atins decât de linia trei, pe restul lăsându-le intacte! De asemenea, observați că adunând elementele liniei trei din determinanții $\Delta_2$ și $\Delta_3$, obținem exact elementele liniei trei din determinantul $\Delta_1$.

Bineînțeles, aceasta nu este singura posibilitate. Mai putem scrie determinantul $\Delta_1$ și ca suma dintre determinantul $$\Delta_4=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 2&5&2\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-35$$ și determinantul $$\Delta_5=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 2&0&4\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=32.$$ Aici am lăsat intacte liniile unu și trei și am piscălit doar la linia doi.

Desigur, putem piscăli și coloanele, nu doar liniile. De exemplu, îl putem scrie pe $\Delta_1$ ca suma dintre determinantul   $$\Delta_6=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 3&5&6\\ 2&8&10\\ \end{array} \right|=8$$ și determinantul $$\Delta_7=\left|\begin{array}{ll} 0&2&3\\ 1&5&6\\ 5&8&10\\ \end{array} \right|=-11.$$ Aici am lăsat intacte coloanele doi și trei și am descompus doar coloana unu.

Rețineți șmecheria pentru momente când veți avea nevoie de ea. Este un as în mânecă...